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2008-04-10 二項間漸化式と数列、特性方程式、背理法

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問題

難易度:¥beta、解答時間:20分

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解答

f:id:gould2007:20080410153829p:image


解説

出典:2003年度、後期、京都大学(京都大学)、理系


背理法で示します。問題では、「ある番号n」について題意の不等式が成り立つようなものが存在することを示せ、と言っているのですから、背理法を用いるならば、当然「すべての番号n」について、題意の不等式が成り立たないことを仮定しなければいけません。

その後は、普通に二項間漸化式a_{n+1}=¥frac{1}{2}a_n-pを解くときのように、この式を変形した

a_{n+1}+¥alpha=¥frac{1}{2}(a_n+¥alpha)

をみたす数¥alphaを求めます。それには、いつものように特性方程式

¥alpha=¥frac{1}{2}¥alpha-p

を解けば良く、¥alpha=-2pと求まります。後も二項間漸化式を解くときと同様に、a_nと定数であるa_1だけの関係式を求めていきます。


ここから先が少し難しいのですが、十分大きいnに対して、求めた関係式の右辺が0にどんどん近づいていってしまうことに気がつけば、先が見えてきます。すると、a_nが正の数であるという仮定に反することになり、無事背理法の完了となります。


この手のタイプの問題は、理系の方で、{¥left(¥frac{1}{2}¥right)}^nがnが十分大きいとき、0に近づく、という極限の考え方を学んだ方の方が解きやすいのかも知れません。

本来ならば月の後半に取り上げるべき問題なのかも知れませんが、ちょくちょくと文系の範囲でも似た問題が出題されていますので、考え方のエッセンスは、文系の方でも押さえておかれると良いと思います。


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