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2008-04-11 二項係数の公式、その和と帰納法、数列の難問

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問題

難易度:¥gamma、解答時間:40分

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解答

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解説

出典:2001年度、慶應義塾大学(慶應義塾)、理工学部


二項係数についての深い問題です。(1)から簡単ではありません。


(1)最高次数であるa_kに着目すると、a_k¥ne0ですから、場合分けが生じてしまうことになります。そこで、a_1を用いれば、場合分けを回避することができます。記号が多く出てきてややこしいと思いますが、ゆっくりと解答を読んでみてください。まだやっていることはそれほど難しくはありません。


(2)二項係数の重要公式

_nC_r= {_{n}C_{n-r}}及びに

_{n+1}C_{r}={_{n}C_{r}}+_{n}C_{r-1}

を使います。この公式が成り立つことは、二項係数の定義に戻って確かめても簡単ですし、組み合わせの数の意味を考えても良いと思います。


_nC_{r}= {_nC_{n-r}}

を使わないと、変数が多過ぎて、やり辛くなってしまいます。この公式を用いて、変数iを一カ所に集めてしまった方が良いでしょう。


二項係数の和に関する公式は、他にも多くが知られており、入試問題として出題されるものは、下の関連記事の理科大の問題にまとめられております。是非ご覧下さい。この慶應義塾大学の問題の(2)の公式も、有名公式と言っても良いでしょう。


(3)帰納法で示します。(1)と(2)を適切に使えば、難しくはないのですが、文字が多く入り乱れ、試験場では頭が熱くなってしまいそうです。(2)のnとrを、(3)ではn=l+1+m-2,r=lとして使っています。


実は、示すのが面倒な(1),(2)を使わずとも、直接(3)を考える方法があります。その方法については、「場合の数」の月で取り上げることにします。


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