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2008-04-17 二次関数と数列の評価、極限に似た考え方

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問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

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解答

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解説

出典:2001年度、大阪医科大学(大阪医科大学


二次関数と数列の評価に関する問題です。(2)は難し目です。


(1)はややするとゴチャゴチャしてしまいがちですが、ゆっくり考えることができれば、大丈夫でしょう。漸化式は当然解けませんから、そんな努力をしてはいけませんが。


(2)これは数学3で極限を学ばれたことのある方でないと、難しかったかも知れません。「すべての自然数」に対してa_n<3とあるのですから、極限を考えると良いのです。


(1)を見ると、p>9のときにはa_n>3となってしまう番号nがあることを言えれば良いと分かります。ところが、直接このことを示すのはとても難しいです。


上の解答を見ると、p>9であっても、pが9に極近いときには、¥frac{p-9}{6}(n-1)+1は中々3よりは大きくならないからです。


そこで色々試してみないといけないのですが、解答の変形は「こういったタイプの問題だから必ずこう変形する」というものではなく、どちらかと言えば、偶然試してみたら、上手くいった、という色彩の強いものです。


ですから、この問題が難しくて解けなかった、という方も、全然気にすることはないのだと思います。数ヶ月後に改めて問題を見て、何となく解答の流れを覚えていられたら、十分でしょう。


ここから先は余談です。


f(x)=¥frac{x^2+p}{6}とすると、a_{n+1}=f(a_n)です。


これから、もしa_nが収束するならば、その解はf(x)=xを満たさなければいけないことが分かります。整理すると、二次方程式x^2-6x+p=0が解をもつとき、a_nはその正の解(a_n>0にご注意下さい)に収束するのでしょう。


9-p>0のとき、この二次方程式の解はx=3¥pm¥sqrt{9-p}ですから、もしa_nが収束するならば、その極限値はこの解のどちらかになります。


閑話休題、この問題はグラフを用いて目で見ながら考えると、意味が掴みやすくなります。ただし、それをそのまま解答にしてしまうのは、やはり少し問題があるのかも知れません。


難問ですが、実は意外に類題が出題されています。今年度の北海道大学の問題にも、似た考え方を用いる難問が出題されていました。そちらは、微分積分の月に取り上げたいと思います。


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