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2008-04-18 五項間漸化式、漸化式を解く、あるいは解かない、数学的帰納法

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問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

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解答

f:id:gould2007:20080418223355p:image

解説

2007年度、前期、群馬大学(国立大学法人 群馬大学 | 群を抜け 駆けろ 世界を)、医学部


与えられた漸化式をよく見て、b_n=a_{n-1}a_{n+2}-a_{n}a_{n+1}(n¥ge2)などとすると、b_{n+1}=-b_{n}となります。これと、b_2=a_1a_4-a_2a_3=a_4-1とから、b_n={(-1)}^{n-2}(a_4-1)となります。


式を戻すと、a_na_{n+3}-a_{n+1}a_{n+2}={(-1)}^{n-1}(a_4-1)です。


なのですが、この関係式はあまり役には立ちません。直接a_nを求めることができれば良いのですが、恐らく不可能でしょう。


そこで、こういった解けない漸化式に対しては、先ず最初の10項ほどを手計算でどんどんと求めてみましょう。数列の一般項を求める問題では、最初の方の項を求めておくのは、「数学的帰納法で解くことができる可能性がある」「帰納法を用いずに一般項を出せたときでも、答えの確認ができる」という2つの理由で、絶対に行っておくべきことなのだと思います。


すると、nの奇遇によって場合分けを行えば、帰納法でa_nを求めることができそうです。後は、与えられた五項間漸化式で順にn=2k-2,2k-1として、a_{2k+1}a_{2k+2}を求めてみれば良いのです。


最後に、a_{100}=a_{2¥times50}=(50-1)a_4-(50-2)148になるということから、a_4を求めて終了です。


知識のある方、あるいは式変形に自信を持っている方ほど、「推測して帰納法」といった単純な方法のメリットを忘れ、「美しく」問題を解くことに固執してしまいがちですが、複雑な漸化式を見たときには、先ず初めの数項を求めてみることを、お忘れないようにして下さい。


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やよいやよい 2008/04/18 23:42 漸化式を(a_{n+3}-a_{n+1})/a_{n+2}=(a_{n+1}-a_{n-1})/a_{n}と変形すると,a_{3}=a_{1}よりa_{奇数}が定数列,a_{偶数}が等差数列になる理由が見易いですね.