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2008-05-12 日本の国公立大学における入試問題の公開状況

[]日本の国公立大学における入試問題の公開状況 日本の国公立大学における入試問題の公開状況 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 日本の国公立大学における入試問題の公開状況 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

日本の国公立大学で、サイト上で過去の入試問題、過去問を掲載している大学を調べてみました。私は以前に「採点基準を公開している大学はほとんどない」と書きましたが(大学入試採点基準の公開について - 難関大学への数学)、これは全くの誤りであったようです......。お詫びして訂正させていただきます。特に、小論文でもきちんと採点基準を公開している大学、教官の方、事務の方の苦労を考えると、頭の下がる思いです。

大学のサイトと、過去問題を掲載しているページを掲載してみましたので、ご覧下さい。県別にまとめてありますので、受験を考えておられる大学の位置する県で検索されると、便利かもしれません。



北海道

北海道教育大学国立大学法人 北海道教育大学

お探しのコンテンツは見つかりませんでした|国立大学法人 北海道教育大学

2年分。


室蘭工業大学ページが見つかりませんでした | 国立大学法人 室蘭工業大学

ページが見つかりませんでした | 国立大学法人 室蘭工業大学

何と平成11年度分からの過去問題を見ることが出来ます。すごい!


釧路公立大学釧路公立大学|Kushiro Public University of Economics

no title

サイトでは小論文の問題のみですが、請求もできるようです。


青森

青森公立大学青森公立大学 Aomori Public University

404 Not Found

17年度から出題の狙いまで掲載してくれています。素晴らしい。ドメインもユニークです。


宮城

宮城大学お探しのページを見つけることができませんでした。- 宮城大学公式ウェブサイト

お探しのページを見つけることができませんでした。- 宮城大学公式ウェブサイト

小論文の講評まで載せてくれています。


岩手

岩手大学国立大学法人 岩手大学

過去問題 - 国立大学法人 岩手大学

2年分。


岩手県立大学公立大学法人 岩手県立大学

過去問題

きちんと解答例を載せてくれています。


福島

福島大学福島大学

404 Not Found

学部入試については掲載されていないのでしょうか?


群馬

群馬県立女子大学群馬県立女子大学

入試情報|群馬県立女子大学

2年分。


栃木

宇都宮大学宇都宮大学

404 Not Found

解答例と出題意図も。


茨城

筑波大学筑波大学

no title

現在掲載中の18年度のものは、19年度のものと入れ替わりに削除されるようです。


茨城県立医療大学茨城県立医療大学公式Webサイト

404 Not Found

2年分を掲載。


埼玉

防衛医科大学校 防衛医科大学校

防衛医科大学校

一部の試験問題と解答用紙を公開してくれています。


東京

東京大学no title

no title

三年分の問題を見ることが出来ます。さすがにこういった取り組みは早いですね。

東京農工大学国立大学法人 東京農工大学

お探しのページ(URL)が見つかりません | 国立大学法人 東京農工大学

2年分。


神奈川

防衛大学校防大HP移転案内

防衛医大と同じく、解答用紙も。


山梨

山梨大学 山梨大学 | 地域の中核 世界の人材

ページが見つかりませんでした | 山梨大学

今後数が増えていきそうです。


都留文科大学都留文科大学

お探しのページは見つかりません。 404 Not Found - 都留文科大学

講評はリンク切れも多いようです。


新潟

上越教育大学国立大学法人 上越教育大学

404 Not Found

小論文の出題意図の解説も。


新潟大学no title

Blocked

入試問題は公開されていませんが、採点基準は公開しているようです。


富山

富山県立大学富山県立大学|TOYAMA Prefectural University – 富山県立大学|TOYAMA Prefectural University

ページが見つかりませんでした – 富山県立大学|TOYAMA Prefectural University

19年度の分のみ。


石川

金沢大学金沢大学

no title

解答の詳細でなく、大まかな枠組みを掲載。


愛知

豊橋技術科学大学豊橋技術科学大学

404 Not Found

19年度分のみ。


京都

京都工芸繊維大学京都工芸繊維大学

Nothing found for 02 02_030300


京都府立大学京都府立大学

過去の入試問題 | 京都府立大学

美術のみ。


兵庫

神戸大学404 Not Found | 国立大学法人 神戸大学 (Kobe University)

入試情報|神戸大学受験生ナビ

解答例も。


島根

島根大学島根大学 | 国立大学法人 島根大学

島根大学入試情報(新しいページにジャンプします)

試験問題と出題意図。


山口

下関市立大学公立大学法人下関市立大学 | 公立大学法人下関市立大学の公式WEBサイトです。「海峡の英知。未来へ そして世界へ。」

出題の意図と解答の傾向 - 公立大学法人下関市立大学

小論文の採点基準も。


徳島

徳島大学国立大学法人 徳島大学

404 Not Found | 国立大学法人 徳島大学

2年分。


香川

香川大学香川大学

香川大学 :: ページが見つかりません (Page Not Found)

6月末までの公開のようです。


高知

高知大学高知大学 - Kochi University - (HOME) | 高知大ポータル

高知大学 - Kochi University - (HOME) | 高知大ポータル

解答と出題意図も。


福岡

北九州市立大学公立大学法人 北九州市立大学

学部の入試情報

出題意図と講評。


長崎

長崎県立大学no title

no title

三年分を公開。


宮崎

宮崎公立大学宮崎公立大学(MMU)

指定されたページ(URL)は見つかりません。|宮崎公立大学(MMU)


鹿児島

鹿児島大学Kagoshima University

no title

2年分の問題を掲載。



サイト上で問題が見れるものだけを集めてみました。この他にも、請求すれば数年分の過去問題を見せてくれる大学もあるようです。受験を考えておられる大学のサイトは、一度ご覧になってみるのがよいと思います。私が考えていた以上に、情報公開の流れは進んでいるんだなと驚きました。


なお、抜け落ちや誤りなどありましたら、申し訳ないのですがコメント欄で教えていただけると大変助かります。私立大学については、数が余りに多いのでまたの機会にさせていただきます。


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UCバークレー、YoutTubeで大学講義を丸ごと配信 - 難関大学への数学

過去問解禁 - 難関大学への数学


以前書いた「過去問解禁」ですが、この取り組みに賛同する大学の数もまた増えたようです(no title)。20年度4月現在、以下の大学が他の大学で一度出題された過去問題を再び利用する協定に賛同しているようです。

<国立> (24大学)


室蘭工業大学(国立大学法人 室蘭工業大学

旭川医科大学(国立大学法人 旭川医科大学

北見工業大学(北見工業大学

弘前大学(弘前大学

岩手大学(国立大学法人 岩手大学

秋田大学(タイトル

山形大学(国立大学法人 山形大学

宇都宮大学(宇都宮大学

埼玉大学(埼玉大学

東京学芸大学(国立大学法人 東京学芸大学

お茶の水女子大学(お茶の水女子大学/ホーム

横浜国立大学(横浜国立大学

金沢大学(金沢大学

山梨大学( 山梨大学 | 地域の中核 世界の人材

信州大学(国立大学法人信州大学

岐阜大学(国立大学法人 岐阜大学

静岡大学(静岡大学:トップページ

滋賀医科大学(ホーム | 滋賀医科大学

兵庫教育大学(no title

奈良教育大学(奈良教育大学

鳥取大学(no title

愛媛大学(愛媛大学

熊本大学(no title

宮崎大学(トップページ|宮崎大学



<公立> (10大学)


青森県立保健大学(公立大学法人 青森県立保健大学

茨城県立医療大学(茨城県立医療大学公式Webサイト

群馬県立県民健康科学大学( 群馬県立県民健康科学大学・大学院

埼玉県立大学( 公立大学法人 埼玉県立大学

石川県立大学(404 Not Found

山梨県立大学(公立大学法人 山梨県立大学

岐阜薬科大学(岐阜薬科大学 | ヒトと環境にやさしい薬学(グリーンファーマシー)

静岡県立大学(静岡県公立大学法人 静岡県立大学

名古屋市立大学(名古屋市立大学

滋賀県立大学(滋賀県立大学



<私立> (42大学)


札幌学院大学(札幌学院大学 Sapporo Gakuin University

千歳科学技術大学(千歳科学技術大学

青森大学薬学部(青森大学 | 青森大学

石巻専修大学(no title

女子栄養大学(女子栄養大学

東京国際大学(404 Not Found

聖徳大学(聖徳大学・聖徳大学短期大学部

中央学院大学( 中央学院大学 | ホーム

桜美林大学(桜美林大学)  

順天堂大学(順天堂

昭和大学(昭和大学

昭和女子大学(昭和女子大学

東京慈恵会医科大学(学校法人 慈恵大学 総合INDEX) 

東京農業大学(東京農業大学

日本医科大学(学校法人日本医科大学|法人本部

日本獣医生命科学大学(日本獣医生命科学大学

日本女子大学(日本女子大学

ルーテル学院大学(ルーテル学院大学

関東学院大学(関東学院大学 公式Webサイト|関東学院大学

相模女子大学(相模女子大学

湘南工科大学(湘南工科大学

帝京科学大学(帝京科学大学

愛知大学(愛知大学

中部大学(中部大学

皇學館大學(三重県伊勢市の皇學館大学

京都女子大学(トップページ | 京都女子大学

龍谷大学(龍谷大学 You, Unlimited

大阪工業大学(大阪工業大学 みらいを つくる つたえる まもる。

大阪産業大学(大阪産業大学

大阪樟蔭女子大学(学校法人樟蔭学園 :: ホーム

四天王寺国際仏教大学(IBU 四天王寺大学 - 学校法人 四天王寺学園

摂南大学(摂南大学

千里金蘭大学(千里金蘭大学

阪南大学(no title

神戸学院大学(神戸学院大学

奈良大学(奈良大学

川崎医療福祉大学(川崎医療福祉大学

広島経済大学(広島経済大学)  

広島工業大学(広島工業大学

徳島文理大学(徳島文理大学・徳島文理大学短期大学部

高知工科大学(Kochi University of Technology

宮崎国際大学(宮崎国際大学|リベラルアーツ|英語による授業

m.e.t.a.m.e.t.a. 2008/09/30 23:55 数学の入試問題のサイトを運営している者です。入試問題の資料を収集するため,大学のサイトを調べていたのですが,こちらに私がみつけられなかった大学がたくさん掲載されているのをつい最近発見し,勝手ながらいくつか掲載させてもらいました。
ご無礼の段お許しください。本来なら掲載前にご許可を願うべきでしたが,ご連絡が前後しましたこと,重ねてお詫びいたします。
なお,私が掲載しているページは
http://mathexamtest.web.fc2.com/sonota/daigakulink.html
にあります。よろしければ,ご覧いただいて,必要なリンクがありましたら,転載していただいても結構です。
今後とも,ときどき拝見させていただきます。
貴サイトのご発展,お祈りいたします。

2008-04-30 丸テーブルの論理テスト、論述力を磨く

[]丸テーブルの論理テスト、論述力を磨く 丸テーブルの論理テスト、論述力を磨く - 難関大学への数学 を含むブックマーク 丸テーブルの論理テスト、論述力を磨く - 難関大学への数学 のブックマークコメント


問題

難易度:¥gamma、解答時間:40分

東京工業大学,後期,小論文,過去問題,第3類


解答

東京工業大学,後期,小論文,過去問題,第3類


解説

出典:2008年度、後期、東京工業大学(404エラー | 東京工業大学)、第3類


月の最後ですが、数列とは全く関係ない、パズルのような問題です。東工大後期の小論文の問題です。


解答のように赤い帽子をかぶった人の人数を設定してしまうのが楽だと思います。このとき、質問者の与えた条件よりS=1,2,3,4のいずれかしかありませんが、S=1,2,4はあり得ないことが最後の質問の後に分かります。この場合、最後の質問がされる前に、誰かが自分の帽子の色を推測できてしまいます。


すなわちS=3です。このことは、最後の質問の後に初めて分かることです。ここまで全員が分かってしまうと、後は周りの帽子の色を見渡せば自分のかぶっている帽子の色はすぐに分かります。


自分が丸テーブルの中に座っているような気持ちで推論してみると、試験だということを忘れて楽しむことができる良い問題だと思います。


なお、丸テーブルに座っている人数が10人、11人となった場合、上の推測はどうなるのかな、と考えてみられるのもよい思考の訓練になるでしょう。良い考えが浮かばれたら、是非コメント欄等で教えて頂けると嬉しく思います。


文章の長さに制限がありますが、こういう場合、少し長めに書いてしまった後、削れる表現を削るのが良いと思います。下書きの用紙に丁寧に書いていかないと、文字を数える時間がロスになってしまいます。


小論文は後期課程で出題されることが多いのですが、東大や一橋大学では、前期でも長い論述問題が出題されています。急に準備しても追いつきませんので、試験に小論文などの論述がある、という方は今のうちから準備されておいた方が良いですよ。その際は答案を学校の先生などに見てもらい添削してもらうのがやはり必要です。


どうしても自分で書いた文章というのは客観的に評価してもらうのが難しいのです。身近に見てもらえる方がいない、という場合は、Z会などの通信添削を利用するのも良いと思います。


明日からはベクトルの問題を解いていきましょう。世間はゴールデンウィークですが、適宜息を抜きながらも、目標に向かって着実に着実に努力を続けていきましょう!


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確率とパラドックス - 難関大学への数学


お勧めの商品

大学生になっても、本屋さんでブルーバックスのコーナーを見つけるとつい長い時間パラパラと捲ってしまいます。気軽にサイエンスや数学の話題に触れることができるのが良いですよね。

史上最強の論理パズル―ポイントを見抜く力を養う60問 (ブルーバックス)

史上最強の論理パズル―ポイントを見抜く力を養う60問 (ブルーバックス)

りょーりょー 2008/04/30 22:08 自分の意見ではなくて恐縮なのですが、「パズルでめぐる奇妙な数学ワールド」という本に似たような論理パズルの話が載っています。もしよかったら手にとってみてください。
結構面白かったです★宣伝みたいですみません笑

gould2007gould2007 2008/05/01 19:17 >>りょう様

ありがとうございます。論理パズルは昔から大好きなので、教えて頂いた本を是非本屋さんで探してみようと思います!

ケアンケアン 2008/05/01 21:03 すごいですね。解答に感動しました。

けんたろけんたろ 2008/05/02 10:36 とても面白いです。人数が奇数のときについて考えさせていただきました。
11人のときは、全員が「わからない」と答えるならば解答と同様にしてS=3または4とわかります。
S=3のとき、赤い帽子が2つしか見えない3人だけは、S≧3とわかっているので自分の帽子が赤だと推定できます。S=4のときは、赤い帽子が4つ見えている7人だけ、S≦4とわかっているので自分の帽子が白であると推定できます。

そこで、再度問題文の最後と同じ質問をすることとします。
「わかった」と答えた人が3人ならS=3、7人ならS=4となり、全員が自分の帽子の色を推定できます。


13人のときは、S=3、4、5を考えることになります。
S=3のときは赤い帽子の人が、S=5のときは白い帽子の人が、それぞれ11人のときと同様にして自分の帽子の色を推定できます。
S=4の場合のみ、誰も推定できません。

そこで、もう一度質問をすると、「わかった」と答えた人数が3人ならS=3、8人ならS=5、0人ならS=4となり、全員が自分の帽子の色を推定できます。

一般に参加者が奇数ならば、問題文の最後の質問を繰り返すことにより、「わかった」と答えた人の人数から必ず全員が推定できると思われます。
下手な説明で申しわけありません…

gould2007gould2007 2008/05/02 22:14 >>ケアン様

良い問題ですよね。大学入試で後期試験を廃止するところも増えてきましたが、こういった新しいタイプの問題を出題できるのは一つの優れた点であると思います。

>>けんたろ様

これは素晴らしい!人数が増えても質問を繰り返すことで必ず帽子の色は推測できるわけですね。

よい拡張をありがとうございました!

2008-04-29 はてなリング終了

[]はてなリング終了 はてなリング終了 - 難関大学への数学 を含むブックマーク はてなリング終了 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

このblogも参加させて頂いていたはてなリング「数学の輪」も、はてなリングサービスの終了に伴い、消えてしまいました。


楽しみにしていたblogもあり、残念です......。


このリングに参加されていたblogをまとめさせて頂きました。漏れ落ちがあるかも知れませんが、その際にはお手数ですがご連絡をお願い致します。


順不同、敬称略です。


404 Error - FC2ブログ


*すうがくはいくらやってもわからない*


DOSEI日記


甲斐公義の日記


Going up downの日記


ダイミテイ


2014年1月


はてなダイアリー


雑記帳


はてな


Red cat の数学よもやま話


日記自己日記


中学数学教材研究ノート++


はてなダイアリー


nameless - ver. d.hatena


はてなダイアリー


usami-k 数学日記


Fine days...taky


Marginal Leaves


出力空間


アクチュアリー試験数学の研究


Finite Groups Fun 有限群 あるいは ちょこっと計算ファンの日記


とりマセ


くるるの数学ノート


暇だから京大受験した(*´ -`)


鉄緑会数学講師のひとりごと


予備校数学日誌


yoriyukiの日記


活動・思考自省にっきちょう


眠い数学者に憧れて。


超弦理論解明への道


第2kame日記


no title


ちらしの裏


一数学教師日記


いろはの学び


はてなダイアリー


elb_physの日記


benjamin1971の日記


Playful Reflection :Math+Edu


はてなではTeXが使用できるので、かなり質の高い数学blogも多く、色々と勉強になりました。さよならはてなリング。

2008-04-28 大学入試採点基準の公開について

[]大学入試採点基準の公開について 大学入試採点基準の公開について - 難関大学への数学 を含むブックマーク 大学入試採点基準の公開について - 難関大学への数学 のブックマークコメント


現在多くの日本の大学では、入学試験の採点基準が公開されていません。


採点結果については、国立大学を始めとして、多くの大学で開示されるようになっていますが、その元になる採点基準については、私の知る限り完全なブラックボックスです。


このblogでは主に数学の入試問題を扱っていますが、ほとんどの難関大学で試験は記述式です。つまり、一つの問題に対して無数の記述が存在し、また、このblogで有益なご指摘を下さる方を見て頂ければお分かりの通り、解答もひとつではありません(数値としての答えはひとつですが)。


すべてマークシート形式で、一見公正に見えるセンター試験でも、採点結果が受験が終わるまで通知されないという重大な欠陥があります。


どこまで学習指導要領で定められた範囲を超える知識を用いていいのかも分かりません。例えば、「ロピタルの定理」、「バームクーヘン分割」など、どの程度まで許容されていて、何を書いたら減点されるのかは、全く不明です。¥logの連続性については、「大学への数学」で執筆されている安田亨先生も、コラムを書かれています(404 Not Found)。


逆に、予備校などの難易度で「難問」とされている問題は、もしかしたら、高いお金を払って何年間も塾に通った方でないと解くことのできない、難しい知識が必要とされる問題なのかも知れません。普通に解いたのでは試験時間がいくらあっても足りないけれども、学校で習わない知識を使うと一瞬で解けてしまう問題は、試験問題として公正で適切なのでしょうか。東京大学などでは試験範囲にとても気を使っていますが、特に地方国立大学医学部などでは、どう考えても普通には解けない問題が多く出題されています。


それどころの話ではなく、例えば誤字脱字についてはどう扱われているのでしょうか?1点が勝負を決める大学入試において、きちんと採点者全体で一貫した扱いが成されているのでしょうか?私の知り合いには、得点の開示の結果たった一点の差で危うく合格していた、という人間もいました。たかが誤字、と馬鹿にすることはできません。



個人的な意見ですが、私はそれが試験と名付けられている以上、解答、採点基準、採点結果はすべて公開されるべきであるとの信念をもっています(勿論、この意見が絶対的に正しいなどとは露程にも思っていませんが)。


そこに至った結果は必ずしも公平である必要はありませんが、過程はすべて公平でなければならないと思うからです。


自由な競争社会において、最も大切なのが相互の信頼である、と述べたのは前FRB議長のアラン=グリーンスパンです。今現在の大学入学試験は、徐々に改善されつつあるとは言え、受験生の方が試験の公平性を信頼できる状況とは到底言えません。今年度だけでも出題ミスや、それに限りなく近いグレーゾーンの出題はいくつも見られましたが、その指摘に対して、きちんと納得できる説明をした大学はありません。


信頼関係が形成されない場合、本来得る筈だった、失われた権利を取り戻すには、司法の力を借りるよりありませんが、それが受験生の方にとって、如何に不利益をもたらすのかは論を待つもありません。


学力低下の論は、今の場合飛躍過ぎの感もありますが、受験生の方のインセンティブの面でも、試験の制度の公平性は少なからぬ影響を与えているのでは、と考えることもできます。公平性の確保できない(と少しでも疑問を感じる余地のある)試験では、第一目的が試験に合格することだけになってしまう、という、大学の存在意義にまったく反対する事態にもなりかねません。実際、既に大学はそのような場になってしまっているのかも知れませんが。


「合同式を使うと試験に通らないから」と恐れながらの数学の学習は、果たして今多くの大学が標榜している「世界レベルの大学」に相応しい人間を産むことができるのでしょうか?


特に、日本においては国立大学法人や、その一部である国立大学医学部に大きな金額の補助金が出されている筈です。教育はある種のビジネスであって、(多くの一般企業の新人採用面接がそうであるように)採点基準は公開する必要がない、という訳にはいきません。国民の税金が大量に(と言いましても対GDP比で日本の教育費公的支出は先進国中最低レベルですが)投入されているということは、人間の教育にそれだけの投資を行う必要がある、という社会的なコンセンサスが形成されているからです。


そういう大切な試験に関する公平性に少しでも疑問が抱かれるようなことは、教える側にとっても学ぶ側にとっても良いことではないでしょう。



とは言え、実際に入学試験の採点基準が公開されるようになるまでには、まだなお長い時間がかかると思われます。


何故採点基準の公開が難しいのかはいくつかあると思うのですが、一つには大学の教官の方自らがバイアスのかかった意見を受験生の方に与えたくない、ということがあるのだと思います。「極限の問題はこう解くべき」という押しつけを受験生の方に与えてしまうのは、確かに無益です。これは難しい問題だと思います。


また、事務作業の煩雑さ、という点でも、余り現実的ではありません。毎年新入生を取るのに途方もない時間を掛けるのは、大学運営の面から考えても、合理的ではありません。


また、以前にも書いたかも知れませんが、大学の教官の方で、同時に本名を隠して予備校などで教えている、という方を私は何人か知っています。素人の考えですと、採点基準の公開で最も大きなダメージを受けるのは予備校や塾等の受験産業だと思われます。私にはよく分かりませんが、博士課程を修了した後、アカデミックポストを得るまで、予備校などで講師をされる方も多いと聞きます。



透明性を求める流れの中で、大学入試も大きな波に曝されています。単純な問題でないだけに、難しいとは思うのですが、やはり受験生の方の利益を考えると、なんとかして採点基準、採点結果の公表が現実のものになれば良いと願います。


一部の大学では、数学の問題に関しては、日本数学教育学会の主催する「大学入試懇談会」に参加しており、その年度の入試問題に関して、ある程度の採点基準のようなものは知ることができるようなのですが。今年度も5月25日にこの懇談会は開催されるそうです(公益社団法人 日本数学教育学会)。


事前予約なしで3000円で入れるので、余裕があれば行ってみたいなぁ、と思います。



私の意見は、一学生の未熟なものであり、多くの重要な視点が抜け落ちているものであることをご承知下さい。特に、大変な忙しさの中、研究の時間を削って真摯に解答の採点をされている大学の教官の方に取って、大分失礼な表現があるかもしれません。是非色々な立場の方のご意見を聞かせて頂けたらと願います。


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お勧めの書籍

個人的好みはあると思うのですが、グリーンスパン元議長の自由市場に対する深い洞察は、医療、教育といった公共性の必要とされる世界に対しても、一定の力を発揮することができると思います。

波乱の時代(下)

波乱の時代(下)

math-netamath-neta 2008/04/28 23:41 はじめまして。こちらのブログは素晴らしいと思い、ちょくちょくのぞかせてもらっています。私も受験生時代は難問を好んで解いたので、このブログの問題の精選具合は優れていると分かります。


さて、採点基準の話ですが、確かに基準を明確にすべきというのは、あくまでも理論的には、正しい見解だろうと思います。論旨は非の打ち所がありません。


しかし、現実的には、まあ、高確率で無理だろうなと思います。というのも、日本の行政関係においては、多く官庁の裁量に任されている部分が多く、それはもう確固としたものとなっています。なぜなら、日本は古来よりお上中心主義であり、民主主義の法が導入された後も、そのお上中心主義を縫うように微妙に整備されており、実態は行政中心国家となっているからです。そして、国立大学の試験は、実際は模擬試験のように基準に従って私情を交えずに採点するということはしておらず、一定程度「政治」を行うことになります。つまり、国立大学に入れるべき学生かどうかを、答案の全体的評価から、ある程度は主観的に決めている部分があります。たとえば、いくら正解が出ていても、書きかたが投げやりでは、性格が推測されて落とされることもあります。問題に含まれた要素も含め、あらゆる要素を総合的に勘案して入学者を選んでおり、それゆえに点数の説明を開示できないのではないかと思います。


以上のように、入試とはただの機械作業ではなく、あくまで官が国家の人材に相応しいかどうかを主観的に選抜する面もあり、これは日本固有のシステムとなっているので、ほぼ絶対変わらないだろうと思います。

gould2007gould2007 2008/04/30 16:52 >>math-neta様

>>そして、国立大学の試験は、実際は模擬試験のように基準に従って私情を交えずに採点するということはしておらず、一定程度「政治」を行うことになります。

入試においても、私のような学生レベルでは伺うことのできない、複雑な事情が存在するのですね......。

詳しい事情を教えて頂きありがとうございました。

moomin-smoomin-s 2008/05/04 02:57 どのような形でコメントすればよいのか、少し悩みましたが、以下、いくつかの点について私の意見を述べます。

(1) 最も大きな疑問として、「採点基準の公開」によってどのような「試験の公平性」が担保されるのか、少なくとも私には理解できません。
逆に、「採点基準は非公開」とすることで、どのような「試験の公平性」が損なわれているのか、私には理解できません。
 例えば、現実問題として採点者が私情を交えて採点しているとか、採点者の間で採点基準が異なっているということが起こる余地は殆どないと考えます。(単科の医科大など数学担当者が1名しかいない大学を除けば、)東大京大はもとよりほぼすべての大学が、1枚の答案に対し少なくとも2名以上の採点者をあてているはずです。
 「公平性」「公正性」「受験生の利益」という観点が錯綜しているように思えてなりません。「採点基準を公開しない試験は公正でない」という主張はある程度は理解しますが、あとで指摘するように、「採点基準の公開」がもたらすデメリットも考慮すべきと考えます。また、採点基準を公開することが、受験生にとっていくつかの安心感を与える可能性は否定しません。しかし、それでもなお(4)(5)で指摘するデメリットの方が大きいと私は判断します。

(2) 数学の試験を数学的に考える場合、「誤字脱字」「合同式」「連続性」「バームクーヘン分割」「ロピタルの定理」といった事柄を一緒くたに扱うことに疑問を感じますし、私は安田氏の議論に異議があります。しかし、それを差し引いても、これらの点がどう採点されているかが明らかにされないことによって、「試験の公平性」が侵されているとは思えません。加えて、これらの例は、数学の試験を考える場合、どう贔屓目に見ても瑣末な事柄(殆ど点数にも影響しない事柄)だと思います。採点基準が公開されれば、これらの点に関して「受験生の利益」つまり少しの安心感を得ることができるかもしれませんが、デメリットを打ち消すだけの意味を見出せません。

(3) 『予備校などの難易度で「難問」とされている問題は、もしかしたら、高いお金を払って何年間も塾に通った方でないと解くことのできない、難しい知識が必要とされる問題』とか『普通に解いたのでは試験時間がいくらあっても足りないけれども、学校で習わない知識を使うと一瞬で解けてしまう問題』が、さも受験数学で多く扱われているかのような推測には根拠がないと思います。『どう考えても普通には解けない問題』とはどのような問題を指すのでしょうか。大学入試の数学の問題を研究しているサイトの管理者がこのような具体性に欠ける文章を掲げることに疑問を感じます。

(4) 試験問題は、受験生の能力を測ると同時に、合否を決定するという大きな目的があります。この目的のために、採点にあたって、数学的な内容とは相反するような点数を付けざるを得ないということが起こります。答案の1行目に「nに関する数学的帰納法で証明する。」とだけ書いて以下白紙という答案に10点/30点を付けたというのはすでに有名な話ですが、それが採点の現実です。採点基準を公開するということは、こうした試験の採点の内実を白日の下にさらすことになります。私の拙い経験や伝聞をもとに考える限り、こうしたことが公開されると、多くの受験生(あるいは予備校etc)が「自然数nについて示す問題なら帰納法と書いておこう」というような極めて不健全な入試対策に熱をあげる結果になりかねません。『公平性の確保できない(と少しでも疑問を感じる余地のある)試験では、第一目的が試験に合格することだけになってしまう』のではなく、むしろ採点基準を公開することが「合格目的だけの学習」を助長すると私は考えます。

(5) 採点基準を公開して「受験生や世間の目に晒す」ことが有益であるという議論もあります。しかし採点基準や受験生の答案を公開することになれば、当然、採点基準や採点結果について問い合わせや訴訟沙汰が起きる可能性もありますし、公開した以上、大学側にも一定の説明責任が生じます。しかし、以下に大学受験といっても専門科目である以上、採点者という専門家の「説明」が世間(素人)にも理解できるとは限りません。採点者が、いくつかの答案の書きぶりを比較考量してどちらに数学的な能力を認めたかということを仮に言葉を尽くして説明したとしても、世間や受験生が納得できるとは限らないのです。全てを公開し透明にすれば、入試の現場は大いに混乱すると私は考えます。

(6) これはやや過激な蛇足ですが、「自由な競争社会において、最も大切なのが相互の信頼である」という指摘について。全てを公開し透明化することが「相互の信頼」を担保する最善の方法であるとは、少なくとも私には思えません。私には、少なくとも大学入学試験における「公平性」「公正性」が侵害されているとは思えないし、そうした火のないところにあえてさも「公平性」や「公正性」に欠けているかのような、具体的事例を伴わない断定を行うことの方が、よっぽど「相互の信頼」を損ねていると思うのです。

いささか失礼な文言を重ねた部分もあるかもしれません。お気に触る点がありましたら、申し訳ありません。

gould2007gould2007 2008/05/05 23:06 >>moomin-s様

>>いささか失礼な文言を重ねた部分もあるかもしれません。お気に触る点がありましたら、申し訳ありません。

とんでもありません!貴重なご意見をありがとうございます。私の意見は未熟な学生のものですし、色々な立場の方を聞きたいと思い、敢えて少しラディカルな意見でも削らずにそのまま掲載しましたので、本当に嬉しく思います。

特に(1)に関しては、今まで気がついていなかったカテゴリーの混乱をご指摘下さって、本当に目が覚める思いでした。

また、(3)ですが、確かに軽率な発言だったかも知れません。

自分と異なる意見を、論理的に説明していただけるのは本当に嬉しい瞬間だと思います。私自身の意見は、実は大きくは変化はしていないのですが、考えの足場をいくつも頂くことができました。

もうすこし時間をかけて、この問題を考えてみたいと思います。moomin-s様も何かお気づきの点がございましたら、是非ご指摘をお願い致します。

本当にありがとうございました。

2008-04-13 フィボナッチ数(Fibonacci number)の全て

[][]フィボナッチ数(Fibonacci number)の全て フィボナッチ数(Fibonacci number)の全て - 難関大学への数学 を含むブックマーク フィボナッチ数(Fibonacci number)の全て - 難関大学への数学 のブックマークコメント

フィボナッチ数とは、次の数列(フィボナッチ数列)によって定められる整数列のことです。


a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}(n>1)

a_n=1(n=1)

a_n=0(n=0)


上の定義から分かる通り、負の整数nに対してもフィボナッチ数列を定義することができます。例えば、n=-1,-2,-3,-4,¥cdotsに対して、a_n=1,-1,2,-3,¥cdotsとなります。

この数列は13世紀イタリアの数学者レオナルド¥cdotフィボナッチの書「算盤の書」に記述されました。

今日は、入試問題として取り上げられることの多いフィボナッチ数列の様々な性質について、楽しんで頂ければと思います。



一般的性質


性質1

フィボナッチ数の最初の20項は、0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765となります。


性質2

フィボナッチ数a_nは、nが3の倍数のときに限り、偶数になります。


性質3

正整数nに対して、a_{-n}={(-1)}^{n+1}a_nとなります。


性質4

黄金比¥phi=¥frac{1+¥sqrt{5}}{2}を用いると、フィボナッチ数の第n項はa_n=¥frac{{¥phi}^n-{(-¥phi)}^{-n}}{¥sqrt{5}}と表すことができます。


性質5

性質4で現れた¥phiは、フィボナッチ数列の特性方程式x^2=x+1の正の解です。


性質6

nが十分に大きいとき、b_n=¥frac{{¥phi}^n}{¥sqrt{5}}とすると、b_nはフィボナッチ数a_nの良い近似を与えます。


性質7

より正確にはa_n=¥lfloor¥frac{{¥phi}^n}{¥sqrt{5}}+¥frac{1}{2}¥rfloorで与えられます。ただし、¥lfloor x ¥rfloorは床関数と呼ばれるもので、実数xに対してx以下の最大の整数を表します。


性質8

¥frac{a_{n+1}}{a_{n}}n¥to¥inftyの極限で、黄金比¥phi=¥frac{1+¥sqrt{5}}{2}に収束します。



関係式


性質9

{(-1)}^n=a_{n+1}a_{n-1}-{a_{n}}^2が成り立ちます。


性質10

ある数列c_nが性質9を満たし、かつc_1=c_2=1であるならば、その数列はフィボナッチ数列になります。証明はこちらから(フィボナッチ数列、余りの漸化式 - 難関大学への数学)。


性質11

{a_n}^2+{a_{n-1}}^2=a_{2n-1}が成り立ちます。


性質12

a_{n+1}a_m+a_{n}a_{m-1}=a_{n+m}が成り立ちます。


性質13

(2a_{n-1}+a_n)a_n=(a_{n-1}+a_{n+1})a_n=a_{2n}が成り立ちます。


性質14

a_1+a_2+a_3+¥cdots+a_n=a_{n+2}-1が成り立ちます。


性質15

a_1+2a_2+3a_3+¥cdots+na_n=na_{n+2}-a_{n+3}+2が成り立ちます。


性質16

{a_0}^2+{a_1}^2+{a_2}^2+¥cdots+{a_n}^2=a_na_{n+1}が成り立ちます。


性質17

a_{2n+k}=a_k{a_{n+1}}^2+2a_{k-1}a_na_{n+1}+a_{k-2}{a_n}^2が成り立ちます。


性質18

a_{3n}=2{a_n}^3+3a_{n-1}a_na_{n+1}=5{a_n}^3+3{(-1)}^na_nが成り立ちます。


性質19

a_{3n+1}={a_{n+1}}^3+3a_{n+1}{a_n}^2-{a_n}^3が成り立ちます。


性質20

a_{3n+2}={a_{n+1}}^3+3{a_{n+1}}^2a_n+{a_n}^3が成り立ちます。


性質21

a_{4n}=4a_na_{n+1}({a_{n+1}}^2+2{a_n}^2)-3{a_n}^2({a_n}^2+2{a_{n+1}}^2)が成り立ちます。



和の性質


性質22

s(x)=¥sum_{k=0}^{¥infty}{a_kx^k}と置いたとき、|x|<¥frac{1}{¥phi}においてこの級数は収束し、その和はs(x)=¥frac{x}{1-x-x^2}となります。


性質23

¥sum_{n=1}^{¥infty}{¥frac{a_n}{10^{(k+1)(n+1)}}}=¥frac{1}{10^{2k+2}-10^{k+1}-1}となります。


性質24

¥sum_{n=0}^{¥infty}{¥frac{a_n}{k^n}}=¥frac{k}{k^2-k-1}となります。


性質25

¥sum_{k=0}^{¥infty}{¥frac{1}{1+a_{2k+1}}}=¥frac{¥sqrt{5}}{2}となります。


性質26

¥sum_{k=1}^{¥infty}{¥frac{{(-1)}^{k+1}}{¥sum_{j=1}^{k}{{a_j}^2}}}=¥frac{¥sqrt{5}-1}{2}となります。


性質27

¥sum_{k=1}^{¥infty}{¥frac{1}{a_k}}は収束し、その値は3.35988566243¥cdotsとなります。



整数としてのフィボナッチ数の性質


性質28

すべての番号nに対して、a_na_{n+1}は互いに素です。


性質29

自然数m,nに対して、mとnの最大公約数をlとすると、a_{n}a_{m}の最大公約数はa_lになります。


性質30

nが奇数のとき、a_nの奇数の約数は、すべて4で割ると1余る数です。


性質31

¥sum_{k=n}^{n+9}{a_k}=11a_{n+6}が成り立ちます。すなわち、フィボナッチ数列から任意の連続する9つの項の和を取り出したとき、その和は11で割り切れます。



その他の難しい性質


性質32

a_{kn+c}=¥sum_{i=0}^{k}{{_{k}C_{i}}a_{c-i}{a_n}^i{a_{n+1}}^{k-i}}が成り立ちます。


性質33

a_n=¥frac{1}{2^{n-1}}¥sum_{k=0}^{¥lfloor¥frac{n-1}{2}¥rfloor}{5^{k}{_nC_{2k+1}}}が成り立ちます。


性質34

a_{n+1}=¥sum_{k=0}^{¥lfloor¥frac{n}{2}¥rfloor}{{_{n-k}C_{k}}}が成り立ちます。


性質35

¥phi=1+¥sum_{n=1}^{¥infty}{¥frac{{(-1)}^{n+1}}{a_na_{n+1}}}が成り立ちます。


性質36

¥sum_{k=0}^{n}{{_nC_k}a_k}=a_{2n}が成り立ちます。


性質37

¥sum_{k=0}^{n}{2^k{_nC_k}a_k}=a_{3n}が成り立ちます。



特に性質9と10、14は大学入試でよく出題されますね。


私は二項係数とフィボナッチ数の関係を面白いと思いました。


その他にもまだまだ驚くほど多くのフィボナッチ数列の関係式、性質は存在します。上の性質のうち、いくつかは高校までの範囲で証明できますので、余裕があるという方は証明に是非チャレンジしてみて下さい。力がつくと思います。


こういった数式の上の性質だけではなく、フィボナッチ数は自然界のあらゆる所で観察されます。例えば、このサイトでは花の花弁の数がフィボナッチ数になっている、という写真を掲載しています。


no title


出典

Fibonacci Number -- from Wolfram MathWorld

Fibonacci number - Wikipedia


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2008-04-01 エイプリルフール

[]エイプリルフール エイプリルフール - 難関大学への数学 を含むブックマーク エイプリルフール - 難関大学への数学 のブックマークコメント


この中に書いてあることは嘘です


一週間以内にこのblogを閉鎖しますが、その日を当てることができた方には100万円差し上げます


この文章が正しいのならば、神は実在します


私は嘘つきです


すべての規則には例外があります。すべての規則には例外がある、という規則にも例外があります


ある町の床屋さんは、「自分で髭をそらない男性」すべての髭をそっています。床屋さんは、誰に髭をそってもらえばいいのでしょう


本を読んでいたら、「このページは故意に余白としています」と書かれたページがありました


すべてに節度を持たなければいけない。すべてに節度を持つ、というルールに対しても


ある新米弁護士が先生にこう言います。「私が初めての裁判でもし勝ったら、先生にお礼を差し上げます」。先生は、すぐさま「お金を払うように」とこの弁護士を訴えました

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ケアンケアン 2008/04/01 19:24 この文章が正しいのならば、神は実在します。

シンプルですが、すごく奥が深い文章に感じたのは僕だけでしょうか?

りょーりょー 2008/04/02 00:24 >ある町の床屋さんは、「自分で髭をそらない男性」すべての髭をそっています。床屋さんは、誰に髭をそってもらえばいいのでしょう

床屋さんがみんな女性ならムジュンにならないんでしたっけ。
有名なパラドクスっていっぱいありますねえ。

gould2007gould2007 2008/04/02 18:19 >>ケアン様

確かに、何気なく書きましたが奥が深いかも知れませんね(笑)。

>>りょー様

女性ではないと書くのを忘れてしまいました......。これだとパラドクスにならないですね........。私が一番好きなのは、一番下の弁護士のパラドクスです。先生の頭の良さに関心してしまいます。

2008-03-26 お勧めの医療系漫画

[]お勧めの医療系漫画 お勧めの医療系漫画 - 難関大学への数学 を含むブックマーク お勧めの医療系漫画 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

そもそも数学とは全く関係ないのですが、たまには気を抜いてこういった話題も。

私は結構漫画好きで、今まで色々な漫画を読んできましたが、お勧めの医療系漫画をご紹介してみたいと思います。それほど数を読んでいる訳ではないのですが、ここに挙げたものは考えさせられるものも含んでいますので、漫画がお嫌いでない方は暇な時間に手にとって見て頂ければと。


ブラック・ジャック

王道ですね(ブラック・ジャック - Wikipedia)。私が一番好きな話は、蒸発した父親の新しい妻(ブラック・ジャックにとっての義母にあたる)の顔を、自分の母親そっくりに整形する話です。

Black Jack―The best 12stories by Osamu Tezuka (1) (秋田文庫)

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Dr.クマひげ

知る人ぞ知る名作です(Dr.クマひげ - Wikipedia)。が、周りの人間に聞いたところ誰一人この漫画を知りませんでした......。サングラスの刑事さんがいい味を出しています。



動物のお医者さん

これも古いですね...(動物のお医者さん - Wikipedia)。余談ですが、この作品が連載されていた時期、獣医学部の倍率が跳ね上がったそうです。

動物のお医者さん (第1巻) (白泉社文庫)

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スーパードクターK

少し劇画チックで、好みは分かれるかも知れませんが(スーパードクターK - Wikipedia)。

スーパードクターK(1) (講談社漫画文庫)

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MONSTER

一気に読んだのですが、結論は少し意味が分かりませんでした......(MONSTER - Wikipedia)。そういえば、同じ作者の20世紀少年(20世紀少年 - Wikipedia)も、あんまりスッキリした終わり方ではなかった気が......。

MONSTER完全版 volume.1 (ビッグコミックススペシャル)

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研修医なな子

かなり昔に読んだのですが、私が医学部に入ったのは、この漫画の影響が強いです(研修医なな子 - Wikipedia)。明るく可愛い研修医の姿を描いた名作。医療漫画にありがちな、超人的な技量を持った医者や、ドロドロの感動話は出てこなくて、爽やかに読むことができます。何回読んでも素晴らしい!ラストにはちょっとした感動も。最近、この作者の方が「ごくせん」(ごくせん - Wikipedia)の作者の方と同一だと知り、びっくり(絵柄が全然違う......)。

研修医 なな子 1 (YOU漫画文庫)

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Dr.コトー診療所

ドラマ化もされているので、ご存知の方も多いのでは(Dr.コトー診療所 - Wikipedia)。残念な事に、私の周りでは、卒後は僻地医療に携わりたい、という人間はあまり見かけません(都会でないと嫌だ、という人間ならいくらでもいるのですが)。これは何処の大学でも同じで、例えば自治医科大学(自治医科大学)を卒業した医師の方でも、義務期間終了後は、期待されるほどの人数が僻地に留まる訳ではないそうです......。

Dr.コトー診療所 (1) (ヤングサンデーコミックス)

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ゴッドハンド輝

何故か一人も患者さんを殺した事の無いという奇跡の医師、真東輝を描いた作品(ゴッドハンド輝 - Wikipedia)。手術中に周りで光が発せられるのが少し気にかかります......(何かの超能力?)。

ゴッドハンド輝(1) (講談社漫画文庫)

ゴッドハンド輝(1) (講談社漫画文庫)



ブラックジャックによろしく

これも大ヒット作ですね(ブラックジャックによろしく - Wikipedia)。ベビーER編は名作です。

ブラックジャックによろしく(1) (モーニング KC)

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医龍-Team Medical Dragon-

何故か現役の医師の方にはすこぶる評判の悪い作品ですが......(医龍-Team Medical Dragon- - Wikipedia)。私は好きです。

医龍?Team Medical Dragon (1) ビッグコミックス―BIG COMIC SUPERIOR

医龍?Team Medical Dragon (1) ビッグコミックス―BIG COMIC SUPERIOR



Ns'あおい

これも確かドラマ化されていましたね(Ns’あおい - Wikipedia)。絵柄が可愛くて好きな作品ですが、意外に病院の裏側を扱った話も多いのです......。

Ns’あおい(1) (モーニング KC)

Ns’あおい(1) (モーニング KC)



国境を駆ける医師イコマ

こちらで試し読みもできるみたいです(404 Not Found)。人種差別や民族紛争、地雷問題や災害対策など、扱う問題は果てしなく重いのですが、心に響く、感動できる一冊です。これはお奨めです(私は全巻持っています)。



というわけで、このblogを開設したときからずっとやりたくて仕様の無かったこの企画ですが(すいません......)、明日からは真面目に良質の問題を提供させて頂きますので、どうかご容赦を......。

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2008-03-17 ゴールドベルク変奏曲

[]ゴールドベルク変奏曲 ゴールドベルク変奏曲 - 難関大学への数学 を含むブックマーク ゴールドベルク変奏曲 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

高校生の方だと、そろそろ春休みだという方も多いのかもしれません。来年に受験を控える方は、そうも言ってられないのかもしれませんが、うまく息抜きすることで、長い一年間を良好に過ごしてください。

今日は数学の問題はお休みにして、Glenn Gouldがバッハのゴールドベルク変奏曲を弾いているムービーをお楽しみください。


f:id:gould2007:20080318011552j:image

(若き日のGould。Glenn Gouldより)


D

Goldberg Variations 1-7 - YouTube


D

Goldberg Variations 8-14 - YouTube


D

Gould plays Goldberg Variations var25 - YouTube


D

Gould plays Goldberg Variations var.26-30 & Aria Da Capo - YouTube


アリアに始まりアリアに終わる変奏曲の傑作ですが、数学的にはとても高度な構造をしているといいます(対位法 - Wikipedia)。正直な話、ここら辺は全く専門外なので、細かいところはちんぷんかんぷんなのですが、皆様には純粋に音楽を楽しんでいただけたら、と思います。

ゴールドベルク変奏曲は、大バッハの作曲した作品ですが、本来はチェンバロの曲であったものを、若き日のGouldがデビュー曲として選択したところ、大変な評判を呼び、一躍有名な曲となりました。

カザルス(パブロ・カザルス - Wikipedia)が偶然古本屋で「無伴奏チェロ組曲」のスコアを発見し、それを芸術の域まで高め世に広く知らしめたように、大演奏家にはこういった興味深いエピソードが尽きません。


f:id:gould2007:20080318011618j:image

(大指揮者バーンスタインに「これ程美しい人間は見たことがない」と言われた幼いころのGould。余談ですが、バーンスタインが同性愛者であったことは広く知られています。写真はAlberto Guerreroと。フリー百科事典wikipedia英語版より)

数学科の友人が何人かいるのですが、何故かバッハ、あるいはGouldが好きだ、という人間は多いのです。理路整然としながらもとても美しい宇宙に、数学家は惹かれるのかもしれません。ここを読んでくださっている方も、聞いていただいたらもしかしたら気に入っていただけるかもしれません。

ムービーは一部抜け落ちもありますが、興味を持ってくださった方は、お近くのCDショップで是非探してみてください。明日からはいつものように数学の問題を解いていきましょう。

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特になし。

けんたろけんたろ 2008/03/18 18:04 こんにちは。
最近音大に行くのを諦めて、今年理系の大学を目指している新高3です。
まさにたった今、チェンバロの元曲をパソコンに取り込もうとしていた所だったので、何か運命を感じました。

素人の意見で恐縮ですが、この変奏曲が「数学的に」美しいというのは、たったひとつの低旋律に対して対旋律の音程の間隔が曲ごとに1度ずつ広がっていくことや、曲の配列が対称的になっていることなどを指しているのだと思いますよ。
バッハは”仕掛け”を知っていると、聴くたびに発見があって、長く楽しめるような気がします。

もちろん数学の方も知りたいことがたくさんありますから、
明日からもこのサイトを活用させていただきます^^

gould2007gould2007 2008/03/19 01:34 >>けんたろ様

>>素人の意見で恐縮ですが、この変奏曲が「数学的に」美しいというのは、たったひとつの低旋律に対して対旋律の音程の間隔が曲ごとに1度ずつ広がっていくことや、曲の配列が対称的になっていることなどを指しているのだと思いますよ。
バッハは”仕掛け”を知っていると、聴くたびに発見があって、長く楽しめるような気がします。

そうなのですね。詳しくありがとうございます。私は一度対位法を学んでみたいと思いながら、時間のなさと能力のなさで全く消化出来ずにいます.......。そういうのが分かると、もっと音楽を楽しく聞けるのになぁ、と日々残念に思っています(逆に難しく考えすぎて楽しめなくなるかも?)。

新受験生ということで、最初はペースを掴むのが大変かも知れませんが、このblogも空いた時間にサラリと読むだけで、役に立つ記事をご提供していきたいと考えております。一年間ですが、よろしくお願い致しますね。

2008-02-29 ディオファントス方程式の超絶的解法

[]ディオファントス方程式の超絶的解法 16:39 ディオファントス方程式の超絶的解法 - 難関大学への数学 を含むブックマーク ディオファントス方程式の超絶的解法 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

以前、大分大学の大変難しい整数方程式の問題を取り上げました(整数方程式 - 難関大学への数学)。その際に、俄僅様より、コメント欄にて、一般的な三変数整数方程式に関して通用する超絶的解法を教えて頂きました。この方法ですと、以下の問題をシステマチックに解くことが可能です。

問題

難易度:¥omega、解答時間:50分

f:id:gould2007:20080204004652p:image


準備

(記述に問題があることを指摘して頂いています。詳しくはコメント欄をご覧になってください)

f:id:gould2007:20080301162631p:image

解答

f:id:gould2007:20080301162608p:image

解説

文章を読むだけだと、今ひとつ分かりづらいかも知れませんが、実際にこの方法を用いてみると、その凄みが分かります。この方法ですと、ほとんど苦労することなく、バシバシと解が求まっていき、快感すら感じます。

それにしても、ただ脱帽するばかりです。


一般に整数係数の多変数高次不等式を「ディオファントス方程式」と言います(ディオファントス方程式 - Wikipedia)。

ピタゴラスの定理x^2+y^2=z^2をみたす整数を求めよ、というのもディオファントス方程式ですし、かの有名な「フェルマーの最終定理」

x^n+y^n=z^n(n¥ge3)

を満たす整数解が存在しない、というのもそうです。

大学入試では、上の大分大学の問題の他に、「ペル方程式」というものも良く取り上げられます。ペル方程式は過去にも京都大学で出題されたこともありますし、今年度の横浜市立医科大学でも取り上げられています。これは整数の月に取り上げようと考えています。


大変素晴らしい別解を考えてくださった、俄僅様、本当にありがとうございます。

関連記事

整数方程式 - 難関大学への数学(上の大分大学の問題)

フェルマーの最終定理 - 難関大学への数学(フェルマーの採取定理を題材にした問題)

ピタゴラス数 - 難関大学への数学(ピタゴラス数について)

数論の未解決問題 - 難関大学への数学(フェルマーの最終定理の周辺の話題について)

俄僅俄僅 2008/03/02 15:02 準備の(ii)の論述は私には疑問があります。「任意のy,zに対しあるxの値qが存在してf(q)>0」を述べているのだと思いますが、私は「ある定数qが存在して、x=qのとき任意のy,zに対しf(q)>0」を述べないと論述できない気がします。前者のqはy,zによって決まる値で、後者のqは定数です。私が以前述べた方法にはそういう難しさがありまして、証明が厄介なので書きませんでした(^^;

gould2007gould2007 2008/03/03 01:26 >>俄僅様

「あるqに対して、x< qではf(x)¥le 0となるy,zが存在してしまう」
「x¥ge qではどんなy,zに対しても、f(q)>0となる」

ようなqでなければならない、ということですね(間違っていたらすいません)。確かに仰る通りです(意味を飲み込むのに随分時間がかかってしまいました......)。

確かにこれは記述に悩みます.......。恐らく、大学入試に出題されるような問題では、そのようなqの最小値がすぐに分かる筈ですので、問題ない、とは言えるのかも知れませんが......。

ここの部分は、ちょっと現時点の私の力ではどうにもなりそうにないので(申し訳ありません......)、しばらくこのまま掲載を続け(コメント欄を読んで頂ける様な記述を致します)、改めて良いアイディアがきちんと書けるようになりましたら、その部分を差し替えさせて頂こうと思います。

俄僅様、いつもありがとうございます。

俄僅俄僅 2008/03/03 22:38 証明してみます。

f(x,y,z) = a xyz + b (xy + yz + zx) + c (x + y + z) + d (a>0)とおきます。

y,z を定数として x で微分した式を f’(x,y,z) とすると、f’(x,y,z) = a yz + b (y + z) + c です。-b/a≦y≦z とすると f’(x,y,z) = a(y+b/a)(z+b/a) - b^2/a + c ≧ a(y+b/a)^2 - b^2/a + c です。(-b^2/a+c)>0 なら f’(x,y,z)>0 となります。(-b^2/a+c)≦0 なら y>(-b+√(b^2-ac))/a のとき f’(x,y,z)>0 です。(-b^2/a+c)>0 なら -b/a より大きく、(-b^2/a+c)≦0 なら (-b+√(b^2-ac))/a より大きくなるように実数 p をとると、f’(x,y,z)>0(p≦y≦z)です。z≦y のときも同様なので f’(x,y,z)>0(p≦y,p≦z)です。

f(p,y,z) = (ap + b)yz + (bp + c)(y+z) + cp + d です。p が十分大きいと (ap + b)>0 です。A,B,C を用いて f(p,y,z) = Ayz + B(y+z) + C (A>0)と書くことにします。-B/A≦y≦z とすると f(p,y,z) = A(y+B/A)(z+B/A) - B^2/A + C ≧ A(y+B/A)^2 - B^2/A + C です。(-B^2/A+C)>0 なら f(p,y,z)>0 となります。(-B^2/A+C)≦0 なら y>(-B+√(B^2-AC))/A のとき f(p,y,z)>0 です。(-B^2/A+C)>0 なら -B/A より大きく、(-B^2/A+C)≦0 なら (-B+√(B^2-AC))/A より大きくなるように実数 q をとると、f(p,y,z)>0(q≦y≦z)です。z≦y のときも同様なので f(p,y,z)>0(q≦y,q≦z)です。

p≧q のとき、q≦p≦y,q≦p≦z なので f(p,y,z)>0(p≦y,p≦z)、そして f’(x,y,z)>0(p≦y,p≦z)なので f(x,y,z)≧f(p,y,z)>0(p≦x,p≦y,p≦z)です。

p<q のとき、p≦q≦y,p≦q≦z なので f’(x,y,z)>0(q≦y,q≦z)、そして f(p,y,z)>0(q≦y,q≦z)なので f(q,y,z)>f(p,y,z)>0(q≦y,q≦z)です。q≦y,q≦z で f(q,y,z)>0 かつ f’(x,y,z)>0 なので f(x,y,z)≧f(q,y,z)>0(q≦x,q≦y,q≦z)です。

したがって上記の方法により、r≦x,r≦y,r≦z に対して f(x,y,z)>0 となるような定数 r を得ることができます。
このとき r≦x≦y≦z においても f(x,y,z)>0 です。


今回取り扱ったのは基本対称式を定数倍した和みたいな式ですが、どの変数の二階微分も 0 になるような式なら使えるんじゃないかなーと思います。ところでこの証明は本当に合ってるのだろうか……(いまさらですが ^^;)

gould2007gould2007 2008/03/04 23:41 >>俄僅様

これは大変な式をありがとうございます。少し時間をかけて、しっかりと読まさせて頂こうと思います。

最近、俄僅様に教えて頂いた方法が、かなり多くの問題に使えることが分かり、本当に感謝しております。詳しくは整数の月に、沢山取り上げていきたいと思います。それにして、本当に優れた方法ですね!

俄僅俄僅 2008/03/07 18:16 >gouldさま

ありがとうございます。この種の問題は妙に解きづらかったので、まとめて解決できたかと思うとスッキリします。

2008-02-28 論理パズル解答編

[]論理パズル解答編 01:20 論理パズル解答編 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 論理パズル解答編 - 難関大学への数学 のブックマークコメント


昨日の続きです(論理パズル - 難関大学への数学)。最初にお断りになりますが、いくつかの問題については、色々な考え方ができるものもあります。その中で、もっとも整合性が取れていると思われるものを、解答としてあげています。ですので、他にも良い考え方がある、という方は、是非コメント蘭で教えていただくと嬉しく思います。


1:スイッチと電球

ある部屋に3つのスイッチがあります。その隣の部屋には、3つの電球があります。各々のスイッチは一つの電球につながっています。初め、全てのスイッチはオフでした。部屋同士はつながっておらず、一つの部屋から隣の部屋を見ることは出来ません。また、誰かの助けを借りる事も出来ません。

あなたは初めスイッチのある部屋にいて、一回だけしか電球のある部屋に入ることができません。どうしたら、どのスイッチがどの電球につながっているか、分かるでしょうか?


解答

先ず、一つのスイッチを十分長い時間つけます。すると、電球は熱で暖められますね(電気は必ず熱を発生します)。十分時間が経た後、最初にオンにしたスイッチを切り、それ以外のスイッチのうち、一つをオンにします。

その状態で隣の部屋へ行くと、電気がついている電球と、後二つ、電気のついていない電球があります。電気のついていない電球のうち、一つは熱で暖められていますので、手で触ると、暖かい方が最初に入れたスイッチと接続されている事が分かります。


2:パイプの中のピンポン球

細くて狭いパイプの中に、ピンポン球が落ちてしまいました。パイプは30センチの長さで、コンクリートの歩道に垂直に埋められています。パイプは上1センチしか地面から出ておらず、勿論動かす事は出来ません。パイプはピンポン球よりも、僅かに広いだけです。

どのようにしたら、ピンポン球を取り出す事が出来るでしょうか?


解答

これは簡単。答えは「パイプに水を入れる」です。


3:エレベーターの中の男

ある男がピルの10階に住んでいました。毎朝男はエレベーターでロビーに降り、ビルを出ます。夜、彼は自宅に戻るためにエレベーターに乗るのですが、そのとき、次のようなルールを定めています。

:もしも、誰か人が一緒に乗っていたり、雨が降っていたら、直接10階の自宅までエレベーターを乗っていく。

:そうでなければ、7階までエレベーターで向かい、そこから10階の自宅まで階段を歩いていく。

何故彼は、このようなルールを定めているのでしょうか?


解答

これは皆さんどうでしたでしょうか?私は考えても分からず、答えを見てしまいました......。答えは、「男は背が小さくて、7階までのスイッチは押す事が出来るが、10階のスイッチは押す事が出来ない。誰か一緒にエレベーターに乗っていれば、10階のスイッチを押す事を頼める。また、雨の日は傘を持っているので、傘で10階のスイッチを押す事が出来る」というものです。

うーん、多少釈然としない感もあります......。


4:磁石

あなたはある部屋にいますが、その部屋には、2本の鉄の棒以外に、金属はありません。この棒のうち、ひとつが実は磁石なのですが、どうやったらどちらの棒が磁石であるかを、知る事が出来るでしょうか?


解答

片方の棒の中心に紐を結び、それを水平になるようにぶら下げます。もしもその棒が磁石であるならば、これは必ず南北を指すはずです。磁石でなければ、棒は動かないでしょう。


余談ですが、幼い頃かの天才アインシュタインは、父親から与えられた方位磁針が必ず北を指すのを見て、自然界の背後にある仕組みについて、深い興味を抱いたといいます。


5:細菌

ある細菌は毎分ごとに二つに分裂します。分裂して出来る細菌は、どちらもオリジナルと同じ大きさで、次の1分後にはまた同様に分裂を繰り返します。シャーレは観察を始めてから12分後に一杯になりました。

シャーレが半分だけ埋まっていたのは、観察を始めてから何分後だったでしょうか?


解答

意外に間違いやすい?答えは「11分後」です。細菌はn分後には2^nに増えていますから、12分で一杯になったとすると、数が半分になる時間は、¥frac{2^{n}}{2}=2^{n-1}となるnです。これは、当然11分となります。


6:船とロープ

船から1本のロープが海に向かって垂れ下がっています。海面はとても穏やかでした。引き潮の時、ロープの下端はちょうど海面の位置にありました。また、船のへりからロープの下端までの長さは10mでした。

2時間後、潮が満ちて水位は5m上昇しました。このとき、船のへりから海面までのロープの長さは、何mでしょうか?


解答

私はこの問題を小学生の頃に解いて、とても面白いな、と思ったのを良く覚えています。答えは「10m」です。水位が上昇すると、それにつれて船も上昇します。なので、水位がいくら上昇しても、あるいは下降しても、船のへりからロープの下端までの長さは、最初と変わらず10mです。


7:ドーナツ

ドーナツがあります。8人の人間に、均等にドーナツを分けたいのですが、3回だけ包丁を入れて、均等に分けることが出来るでしょうか?


解答

最初にドーナツを水平に薄く切ります。これを4等分すれば、8人にドーナツを分けることが出来ますね。


8:蚊取り線香

蚊取り線香が2つあります。どちらも1時間で燃え尽きてしまいます。ライターで火をつけて、45分を計ることは出来るでしょうか?


解答

先ず、一つの蚊取り線香に、両側から火をつけます(これをAとします)。これと同時に、もう一つの蚊取り線香(こっちはBとします)にも、片側だけ火をつけます。Aは30分で燃え尽きます。このとき、Bは半分だけ残っています。

この瞬間、Bの最初に火をつけなかった側にも点火します。すると、Bは15分で燃え尽きる事になります。なので、30+15で、45分を計る事が出来る、というわけです。


如何だったでしょうか?なんだかなぞかけのような問題もありましたが、楽しんでいただければ幸いです。

受験生の方は、なんだか宙ぶらりんな状態なのかもしれません。ここまできたら、もう後は自分を信じて待つしかありません。合格された後は、恐らくこのblogもあまり見ていただけないとは思うのですが、大学で暇な時間がありましたら、時々覗いていただけると、嬉しく思います。

ケアンケアン 2008/02/28 22:31 全問正解でした。確かに3は釈然としませんが。

僕は今年大学受験がありましたが、このサイトは今後とも見ていきたいと思います。僕自身、将来は数学の先生になりたいので、授業やテストのネタにこのサイトを活用したいと思います。問題の掲載、解説だけではなくて、問題の背景まで述べてくれるのはすばらしいと思います。今後ともよろしくお願いします(受かったらの話ですが)。

sacra_sak_08sacra_sak_08 2008/02/28 23:39  3 は一本取られましたね.でも 10 階分もあるボタンがふつう,縦に一列に並ぶかな? 確かにそういう場合もありますが.
 4 は別解を考えていました.二本の鉄棒を,T 字型に組み合わせます.鉄棒が T の横画,磁石が縦画ならばくっつきますが,逆ならば,棒磁石の真ん中に鉄はくっつきませんよね.これで判別できるかと.

LaureateLaureate 2008/02/29 00:45 3と4がお手上げでした。ドーナッツのは四等分したのを重ねてさらに二等分する、と思ってたのですが、ちょっと無理があるかな?
夏頃、このサイトのことを知ってから毎日欠かさず見させてもらいました。数学は大好きな科目であったので、一歩突っ込んだ解答を見ているだけでも心躍る感じがしました。二次試験ではこの数学で大ミスをしてしまっただけに、立ち直るのが大変でした;;
これからも、暇を見て立ち寄ろうかと思いますので、よろしくお願いします!

TKTK 2008/03/01 02:07 自分が受験生だったのは18年前ですが、こちらのサイトのファンです。
3は昔からパズルの本によく載っていた有名問題で、男が子供だったからとかいくつかバリエーションがありますが、最近は車椅子用のボタンを備えていることが多いよなあなどと思ってしまいました。

gould2007gould2007 2008/03/01 15:21 皆さんありがとうございます。知識と経験のある方にこのサイトを見て頂き、コメントを頂くことは、受験生の方にとっても、私自身にとっても、とても勉強になります。今後も是非よろしくお願い致します。

論理パズル、さすがという感じです。私は結構時間かかってしまいました......。