難関大学への数学 このページをアンテナに追加 RSSフィード

2007-08-31 距離の最小値、フェルマー点

[]距離の最小値、フェルマー点 11:04 距離の最小値、フェルマー点 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 距離の最小値、フェルマー点 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

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解答

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(2)

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(3)

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解説

出典:2004年度、前期、国立大学法人 東京医科歯科大学

東京医科歯科大学 2008年版 (大学入試シリーズ 704)

東京医科歯科大学 2008年版 (大学入試シリーズ 704)

(1)は中学校の数学で学習することですが、いきなり式でおいて微分をしてしまった人も少なくなかったのではないでしょうか。冷静に考えると当たり前で、解答を読んで方法を思い出された方も多かったことだろうと思います。対称点を取り、三角不等式を用いることがポイントです。

(2)は逆に、式でおいて微分をしないと難しいでしょう。簡単な微分法の計算問題ですが、場合分けをお忘れないようにご注意を。なお、この点Pは「フェルマー点」になっています。場合分けの前者が三角形ABMの内角が全て120^{¥circ}以下の場合で、三角形ABMにおいて、角APM=MPB=BPA=120^{¥circとなっています。後者が角AMBが120^{¥circ}以上の場合にあたります。

一般に計算でフェルマー点を求めるのは大変困難なのですが、三角形ABMのように、二等辺三角形の場合は、比較的簡単に求めることが出来ています。

フェルマー点に関しては、こちらの記事も参考にしてみてください(フェルマー点 - 難関大学への数学)。

(3)は当然、(1)、(2)を使って解いていきます。最初に点P,Qのy座標を固定してから、(1)を使い、その後で(2)を使うという流れです。割とすっきり出来る感じですね。

この問題の結果により、四角形ABCDの内部に、点A,B,C,Dを結ぶ道を造る時に、対角線上を進むルート(道の長さの合計は2¥times 2¥sqrt{2}=4¥sqrt{2}=5.65685...)を作るよりも、解答のような点P,Qをとったルート(道の長さの合計は2¥sqrt{3}+2=5.46410...)の方が、短い距離になることが分かります。これは人間にとって意外な事実ですが、自然はこれを上手く利用していて、例えばミツバチの巣が六角形なのも、最小の材料で巣を作ることが出来る図形が、この問題の解答のようにして、六角形であることが分かるからなのです。

2007-08-30 法線の個数、共通部分の面積

[]法線の個数、共通部分の面積 13:02 法線の個数、共通部分の面積 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 法線の個数、共通部分の面積 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

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解答

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解説

出典:1978年度、no title、理系

☆高校生は注目!☆ 高校生活はとことん楽しむ。でも、行きたい大学はあきらめない。進研ゼミ高校講座だったら実現できる。

法線や接線の個数を問われたときは、解答のように実数解の個数の問題に帰着させるのが定石手段です。例のごとく、法線はいきなり

-3ty=(x-t)-3t¥left(¥frac{3}{2}t^2-¥frac{1}{3}¥right)

という形ででてきますが、これはt=0のときの場合分けを回避するための工夫です。素直に

y=-¥frac{1}{3t}(x-t)+¥frac{3}{2}t^2-¥frac{1}{3}

と書いたときは、t¥ne0のときにしか通用しないことをくれぐれもお忘れないように。この点を忘れることは本当に多くて、確実に減点されるポイントですので、法線は初めから上の形で覚えた方が良いのだと思います。

入試ではボーダーラインにほとんどの受験生の方が集まります。一点、二点の差で涙を流した方も多いのです。私の知り合いは、成績開示をした所、最低合格点から一点低いだけという成績で落ちてしまっていました。一年の努力が無駄にならないようにするためにも、細かいポイントこそ気を使うようにして頂けると良いと思います。

さて、面積についてですが、多少鬱陶しい計算になりますが、対称性などに注意してさっと片付けてしまいましょう。この問題ではグラフの概形を描くのに、微分までする必要は無いと思われます。

sjt33846sjt33846 2009/03/09 10:27 最後の計算が何回やっても 88√2/135 になるのですが
詳しい計算方法を示していただきたいです。

2007-08-29 円の接線、相加平均、相乗平均

[]円の接線、相加平均、相乗平均 14:16 円の接線、相加平均、相乗平均 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 円の接線、相加平均、相乗平均 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

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解答

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解説

出典:2005年度、後期、一橋大学

{(x-a)}^2+{(y-b)}^2=c^2上の点(x_0,y_0)における、円の接線は


(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=c^2

となります。微分法を用いて導くのですが、結果を暗記されると便利です。ただし、これ以外にも円の接線の導き方はあって、例えば、円の中心の座標は(a,b)で、接線に垂直な直線の傾きは¥frac{y_0-b}{x_0-a}ですから、円の接線は点(x_0,y_0)を通り、傾きが-¥frac{x_0-a}{y_0-b}の直線として、

y=-¥frac{x_0-a}{y_0-b}(x-x_0)+y_0

となります。これを変形して、

y-b+¥frac{x_0-a}{y_0-b}(x-x_0)=y_0-b

となり、

(y_0-b)(y-b)+(x_0-a)(x-x_0)={(y_0-b)}^2

さらに、

(y_0-b)(y-b)(x_0-a)(x-a+a-x_0)={(y_0-b)}^2

なので、

(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)={(x_0-a)}^2+{(y_0-b)}^2=c^2

を得ます。こちらも簡単ですが、やはり結果を頭に留めておかれた方がいいと思います。

三角関数でaOP^2+bOQ^2を表した後は、解答のように¥tanを持ち出すのが一番簡単だと思います。理系の方は微分法を用いても良いのですが、¥sin^2¥cos^2はともに¥tanの有理式で表される、という事実は知っておいた方が良いことなのだと思います。

その後は、上手く相加平均、相乗平均の関係式が使えますね。この問題は、とても簡単に見えた方と、極端な難問に見えた方に分かれる問題ではないかと思います。解けなくても余り気にする必要は無いです。

2007-08-28 接線の交点、3点を通る円の中心、軌跡

[]接線の交点、3点を通る円の中心、軌跡 07:03 接線の交点、3点を通る円の中心、軌跡 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 接線の交点、3点を通る円の中心、軌跡 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:40分

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解答

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解説

出典:2005年度、後期、横浜国立大学 Yokohama National University、工学部

横浜国立大学(工学部) (大学入試シリーズ 51)

横浜国立大学(工学部) (大学入試シリーズ 51)

難問です。接線の交点を求める所までは問題ないと思うのですが、いきなりここで手が止まってしまいます。素直に考えれば、「3点P,Q,Rから等しい距離にある点」、あるいは、「PRの中点を通りPRに垂直な直線と、QRの中点を通りQRに垂直な直線の交点」、として式を立てる所ですが、中々厳しい計算に巻き込まれます。

ここは少し巧妙ですが、法線を持ち出してみましょう。角SPR=角SQR=90^{¥circ}ですから、SRが求める円の直径になっていることが分かります。なお、いきなり式(b)の形が現れてビックリした方もいたかも知れませんが、

y=-¥frac{1}{2p}(x-p)+p^2-¥frac{5}{4}

という形で書いてしまうと、p=0の時におかしなことになりますから、その場合についての言及を避けるために、初めから式(b)の形で書いてしまっています。p=0のときは、と場合分けができていればどちらでも良いのですが、よく忘れてしまうので、初めからこのような形で書いてしまうのが良いと思います。

(2)は(1)が出来ればおまけですが、ここまで辿り着かなかった方も多かったことだろうと思います。なお、答えで出てきた曲線は、下のような形になります。

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y軸に関して対称ですが、意味を考えれば当然ですね。

2007-08-27 最大値の最小値

[]最大値の最小値 12:30 最大値の最小値 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 最大値の最小値 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

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解答

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解説

出典:1977年度、no title、文理共通

今まで何回か取り上げたタイプの問題です。このようなタイプの問題では、細かい場合分けは後に回してしまい、先ず最大値と最大値の候補となるものを全て挙げてしまいます。この問題では、例えば0,3k-1,-2k¥sqrt{k}が最大値、最小値の候補となります。このとき、-2k¥sqrt{k}はkの範囲に制限がつくことに注意しましょう。

候補を挙げてしまったら、全てのグラフを同じ平面上に描きます。その後で、最大値を取る部分だけを太線などでなぞってしまえば良いのです。最大値を取る部分というのは、グラフの一番上の部分ですから、目で見て一瞬で、どんな時に最大かが分かるのです。

後は、その太線の一番大きい部分なり、小さい部分なりを求めれば解決です。

古い問題ですが、同様な問題は今でも毎年必ず何処かの大学で出題されています。細かい場合分けは、後で目で見ながらいっぺんにしてしまえばいい、というおおざっぱな考え方が重要で、初めから式のみでやろうとすると、場合漏れをしてしまうか、計算ミスをしてしまいますので、解答の考え方を身につけられると、ミスを減らすことが出来るようになると思います。

2007-08-26 直交する2つの円、接線

[]直交する2つの円、接線 13:51 直交する2つの円、接線 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 直交する2つの円、接線 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

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解答

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解説

出典:2000年度、前期、no title

(1)はそれほど難しいことは無いと思います。落ち着いて式を立てれば5分もかからずに解けると思います。

問題は(2)で、初めて見る方には大分厳しい問題だったろうと思います。式でやろうとすると、文字がいくつも出てきて混乱してしまいます。図を書くと、「2円が直交する」などというのは、結局交わる2つの円があって、その交点におけるそれぞれの接線が、互いの円の中心を通ることに過ぎない、ということが分かります。図を書かないと駄目で、式で追求する方針は絶望的ではないでしょうか。

図を書いて、条件が出た後は、それが任意のr(>1)に大して成り立つ条件を求める、と考えれば良いのです。この部分も、論理の流れを意識しないと、さっと解けません。

直交する2つの円、というテーマは、初めて見る方も多かったと思うのですが、意外に多くの大学で出題されていて、ポイントになるのは、解答の事実です。図を書く習慣をつけて頂ければ、今後は同タイプの問題が出ても何の問題も無いのでは、と思うのですが。

(3)はおまけです。三角形の合同(図の三角形CADは三角形BCDに合同)を使っても良いですし、解答のように面積に着目しても良いでしょう。


もうすぐ8月も終わります。秋は思うように勉強が進まないことも多くあると思いますが、成績が悪いときでも、決して諦めないでください。

私は人間は本当にやりたいことしか出来ないものだと考えています。成績が思うように伸びないと、落ち込んでいつまでもクヨクヨと考え込んでしまいますが、皆さんのやりたいことは、成績に一喜一憂して暗く過ごすことではないですよね。そんなことをやりたい方って、あんまりいないと思います。

本当にやりたいことがあって大学へ進むことを目指されているのなら、模試の成績、周りからのプレッシャーなんか気にせずに、努力を続けてみてください。受験勉強には優秀な頭脳も、特別な環境も、ずば抜けた能力も必要ありません。

大切なのは、前向きな心で一日一日の努力を積み重ねることだけです。

2007-08-25 空間座標、球、円、3点を通る平面

[]空間座標、球、円、3点を通る平面 10:24 空間座標、球、円、3点を通る平面 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 空間座標、球、円、3点を通る平面 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥beta、解答時間:25分

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解答

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解説

出典:2007年度、前期、札幌医科大学

[国公立大]医学部の英語 (MEDICAL 難関校過去問シリーズ)

[国公立大]医学部の英語 (MEDICAL 難関校過去問シリーズ)

空間座標について、どうしても必要だと思われることを解説致します。身につけて頂きたいのですが、座標平面とほとんど同じですので、それほど厳しいことはないと思います。

先ず、xyz座標空間で、平面を表す方程式は、ax+by+cz=dという形になります。導き方ですが、例えばこの平面(平面Dとします)が点(p,q,r)を通り、べクトル(a,b,c)に垂直だとすると、べクトルの内積より

(a,b,c)¥cdot(x-p,y-q,z-r)=0

となります。展開して、適当に文字を置き換えると、ax+by+cz=dという形になります。このべクトル(a,b,c)のことを平面Dの法線べクトルといいます。平面D上のベクトルはすべて法線ベクトルと垂直になっています。平面の表し方には色々あるのですが、この方法では、「向きと、1点さえ決まれば、平面は定まる」ということを基本として、式を立てています。「向き」にあたるのがべクトル(a,b,c)な訳ですね。

ちなみに、xy平面でも同じで、直線mx+ny=l上のべクトルは、全てべクトル(m,n)に垂直となっています。(m,n)に垂直で、点(p,q)を通る直線は、

(m,n)¥cdot(x-p,y-q)=0

ですから、展開して適当に文字を置き換えて、mx+ny=lとなる訳です。

また、空間で点(a,b,c)を中心とする半径dの球を表す方程式は、

{(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2=d^2

となります。これは、円の中心の距離を考えれば、当然だと思って頂けると思うのですが。

以上は基本で、応用として、3点(a,0,0)(0,b,0)、および(0,0,c)(abc¥ne0)を通る平面が

¥frac{x}{a}+¥frac{y}{b}+¥frac{z}{c}=1

で表される、というものがあります。これは、左辺に各々の座標を代入してみると=1となるので、平面は3点を通ることが分かり、3点を通る平面は一意に決まるので、この表し方以外にはない、ということになります。文字でおいて、平面を計算しても良いのですが、便利なので使えるようにしておかれるといいでしょう。解答中ではこの知識を用いています。

(2)も、空間座標に慣れていないと、混乱させられてしまいそうですが、よく考えれば平面の問題です。札幌医科大学の入試問題としましては、易しい問題だと思います。

2007-08-24 放物線、式の条件、相加平均、相乗平均

[]放物線、式の条件、相加平均、相乗平均 13:02 放物線、式の条件、相加平均、相乗平均 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 放物線、式の条件、相加平均、相乗平均 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

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解答

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解説

出典:1974年度、no title、理系

難問です。先ず、解答の式(a)は簡単に出せるのですが、そこから手が止まります。取りあえず式(b)のようにp+q=a,pq=bなどとおいて議論を進めることにしたいのですが、その際式(c)の条件を忘れないように気をつけてください。もしもこれを忘れてしまった場合、大幅な減点は避けられないことだと思います。

式(c)の条件は、この問題の場合、結局考慮してもしなくても変わらないのですが、だからといって論理上抜かす訳にはいきません。

その後ですが、

4m=a^2+1+¥frac{l^2}{a^2+1}-1

という式が出てきます。この最小値を求めればよいのですが、反射的に相加平均、相乗平均の関係式を使わないようにしてください。何故かと言うと、l¥le1の場合、等号を満たすaが存在しないからです。そんなこと以前に、そもそも相加平均、相乗平均の関係式を使うと、

4m¥ge ¥sqrt{(a^2+1)¥cdot¥frac{l^2}{a^2+1}}-1=l-1

となり、l¥le1ですからこれは負の値になってしまっておかしいですね。こういったチェックを所々で働かせていかないと、「出来たつもり」になっていても返ってきた答案を見たら減点だらけ、などということになってしまいます。例えば、来月は確率を取り上げますが、出てきた値が1を超えてしまった場合、「何処かで間違っている」と気がつけるようにしておかれると、数学の実力はさらにのばすことが出来るでしょう。

こういったチェックを忘れてしまい、後悔することは誰にでもあるのですが、ミスを減らすための方法は、やはり問題演習しか無いと思います。問題を多く解いていないと、「この結論はおかしい」、「この値が出る筈が無い」といった、「感覚」が働かないので、ミスの上にミスを積み重ねることになってしまいます。数学では、「式が立ったから後は計算だけ。面倒だから答えを見てしまおう」という勉強の仕方ではいつまでたっても実力が向上することはありません。一つ一つの式変形をしっかりと自分の力でこなしていかないと、問題を解く「感覚」が備わらないからです。皆さんも、普段の学習で、「最後まで答えを出し切る」ことを大事にされると、良いと思いますよ。

さて、問題に戻りますが、結論を見ると、直線がx軸に平行なとき(p=-q)に、点Mのy座標が最小になっていることが分かります。直感的に明らかな感じもしますが、l¥ge1の場合はそうではありません。なかなか面白い問題でしたね。

2007-08-23 変曲点、3次関数、4次関数、対称

[]変曲点、3次関数、4次関数、対称 10:56 変曲点、3次関数、4次関数、対称 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 変曲点、3次関数、4次関数、対称 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

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解答

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解説

出典:2004年度、後期、名古屋大学、後期


昨日の九州大学の問題(変曲点、点対称、線対称 - 難関大学への数学)と同じです。そこでの解き方を参考にして解答を作ってみました。

(1)はそのまま計算を進めれば、同じように対称点が求まります。昨日も言った通り、これは3次関数の変曲点になっています。

(2)も同じように解けば良いのですが、

g(X)=g(2k-X)

をそのまま計算しようとすると、式が膨らんでしまうので、Z=X+Kと置き換えて、計算を簡略しています。ここら辺の工夫は、適宜織り込まれていかれたら、楽になると思います。

(1)、(2)も計算は厳し目ですが、やっていることは昨日と同じなので、是非解いて頂きたい問題です。このタイプの問題については、色々な大学で取り上げられることも多いので、昨日の分と合わせて折に触れて復習してくださったら良いと思います。

2007-08-22 変曲点、点対称、線対称

[]変曲点、点対称、線対称 17:05 変曲点、点対称、線対称 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 変曲点、点対称、線対称 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

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解答

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解説

出典:2001年度、前期、九州大学(KYUSHU UNIVERSITY)、理系

九州大学(理系-前期日程) 2008

九州大学(理系-前期日程) 2008

3次関数の対称性についての問題です。(1)は問題ないでしょう。

(2)は多少粘り強い計算が必要です。この対称点は、3次関数の変曲点になっています。

(3)解答中で使った知識について補足しておきます。先ず、式(a)は、点(x,y)と点(X,Y)の中点が直線mx+ny=0上にあるという条件です。式(b)に関しては、直線mx+ny=0は、

(m,n)¥cdot(x,y)=0

と見ると、(m,n)に垂直ですから、べクトル(m,n)(x-X,y-Y)は平行になる、という条件を式にしたものです。この条件の建て方については、以下の記事も参考にしてください(直線、対称移動、tanの加法定理 - 難関大学への数学)。

式が立った後は、行列を用いて解いています。勿論、普通に連立方程式を解いても構いませんが。便利なので行列を用いた方法も覚えておいてください。

行列

¥begin{pmatrix}a&b¥¥c&d¥end{pmatrix}(ad-bc¥ne0)

の逆行列は

¥frac{1}{ad-bc}¥begin{pmatrix}d&-b¥¥-c&a¥end{pmatrix}

となります。実際に上の二つの行列の積が単位行列

¥begin{pmatrix}1&0¥¥0&1¥end{pmatrix}

になっていることをご確認ください。

(4)色々方法はあると思うのですが、(3)を誘導と考えて使ってみましょう。実際に式を立てようとすると、9次方程式が現れてしまうので、解答の程度が述べられていれば十分でしょう。

3次関数のグラフは直線に関して対称とはなりませんでしたが、4次関数のグラフは条件が整えば直線に関して対称となります。明日の問題ではそのことを扱った問題を取り上げたいと思います。