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2008-03-31 級数と数列、多項式と微分、必要条件と十分条件

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問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080331161414p:image


解答

f:id:gould2007:20080331161412p:image

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f:id:gould2007:20080331161257p:image

解説

出典:1984年度、東京大学(no title)、理系

良い問題です。

(1)は十分性についてはすぐに分かりますが、必要性については難しい。帰納法でも良いのですが、解答では、次の基礎的な知識、

多項式f(x){(x-a)}^kで割り切れるならば、f(a)=f^{¥prime}(a)=¥cdots=f^{k}(a)=0である

を用いています。証明は簡単で、f(x)={(x-a)}^kg(x)などとおいて、微分してみるとすぐに分かります。


これを用いてると、大分すっきりとした解答を書くことができますが、簡単な問題ではないと思います。解答の式(a)の値は0ですので、適当に足したり引いたりして、問題文のf_k(x)の形を作り出します。

(2)(1)が解答の解き方で解ければ、意味が分かりやすい問題だと思います。十分性についても、式を書いていけば慌てずに処理することができるのではないかと思います。それにしても、(2)の関係式で現れる

¥sum_{k=2}^{n}{¥frac{k(k-1)}{2}a_k}

の分母の2の意味がよく分かりません。別の解法をとると本質的に現れる量なのかも知れませんが、あまり気にする必要はなさそうですね。


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IrrrrrIrrrrr 2008/03/31 17:38 タイトルが必要“受験”なる妙な言葉になっちゃってますが,正しくは必要条件じゃないでしょうか?(^^;

gould2007gould2007 2008/03/31 17:56 >>Irrrrr様

本当ですね。これは珍しいというか恥ずかしいミスです......。訂正いたしました。

す、すいませんでした......。

やよいやよい 2008/03/31 19:29 因数分解で考えてみました.以下,x^{0}=1とします.
(1)f_{k}(x)=x^{k}-kx+k-1=(x-1)Σ_{j=1}^{k-1}(x^{j}-1)は(x-1)^{2}で割り切れるが,g(x)=Σ_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}とおくとg(x)=a_{0}+a_{1}+Σ_{k=2}^{n}a_{k}(f_{k}(x)+kx-k+1)=p(x)+Σ_{k=2}^{n}a_{k}f_{k}(x) (pの次数は1以下) と表せるので,g(x)が(x-1)^{2}で割り切れるための条件はp(x)=0である.
(2)f_{k}(x)
=(x-1)^{2}Σ_{j=1}^{k-1}(j+Σ_{i=0}^{j-1}(x^{i}-1))
=(x-1)^{2}k(k-1)/2+(x-1)^{2}Σ_{j=1}^{k-1}Σ_{i=0}^{j-1}(x^{i}-1)
の(x-1)^{2}Σ…の部分は(x-1)^{3}で割り切れるのでそれをq_{k}(x)とおくと
g(x)=p(x)+(x-1)^{2}Σ_{k=2}^{n}a_{k}k(k-1)/2+Σ_{k=2}^{n}a_{k}q_{k}(x)
となるので,g(x)が(x-1)^{3}で割り切れるための条件はp(x)=0かつΣ_{k=2}^{n}a_{k}k(k-1)/2=0である.

gould2007gould2007 2008/04/01 19:30 >>やよい様

こんなに簡単にこの問題が解けるとは思いませんでした!この変形だと、(2)の分母の2が自然に現れるのですね。ということは、東大の先生もやよい様のようにこの問題を解決したということでしょうか。

良い解法を教えていただき、ありがとうございます!

2008-03-30 相加平均、相乗平均の関係式

[]相加平均、相乗平均の関係式 相加平均、相乗平均の関係式 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 相加平均、相乗平均の関係式 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080329194838p:image


解答

f:id:gould2007:20080329194835p:image

f:id:gould2007:20080329205045p:image

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解説

出典:2001年度、後期、静岡大学(静岡大学:トップページ)、理系

(1)微分の基本的な問題です。これは落としたくはないですね。

(2)(1)でx=r_3とすると、n=3の場合の{r_1}^3+{r_2}^3+{r_3}^3¥ge 3r_1r_2r_3を示すことができます。これを参考にすると、

F(x)=x^n-nr_1r_2¥cdots r_{n-1}x+{r_1}^n+{r_2}^n+¥cdots+{r_{n-1}}^n

と置いて、これがx¥ge0で0以上であることが言えれば、x=r_{n}を代入して示すべき不等式の証明は完成です。

しかし、上の関数が0以上であることを言うためには、極小値が0以上であることを示す必要があり、結局項数の一つ少ない同じ不等式が必要です。なので、ここは数学的帰納法を用いるべきなのでしょう。

多くの説明は不要だと思うのですが、文字数が多くて混乱されるかも知れません。こういう問題を解くときには、示すべき不等式と、今までに得た不等式を冷静に見比べて、適宜置き換えなどを行うことによって、示すべき不等式に得たものを近づけていけばよいのです。


相加平均、相乗平均の関係式については、今までに数回取り上げました。「関連記事」でフォローして頂ければ良いのでは、と思います証明方法は何10通りもありますが、一々覚える必要はないと思います。ただし、問題として取り上げられるときは、この問題のように誘導の使い方が難しいものが出題されることが多いようです。いくつかまとめて当たっておくのも、良いのかも知れません。

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2008-03-29 2倍角の公式

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問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

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解答

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f:id:gould2007:20080329182840p:image

解説

出典:1997年度、後期、京都大学(京都大学)、理系

(1)が難しいです。解答では方程式(¥ast)が自明な解(x,y,z)=(1,1,1)を持つことに注意して、因子を括り出しています。この辺の式変形は、慣れていないときついでしょう。(1)は他にも色々な解き方があり、とても良い練習になると思いますので、皆さんも色々試してみてください。

その中の一つが、上の「別解」で示したもので、「双曲線関数(双曲線関数 - Wikipedia)」と呼ばれるものを用いています。要は、双曲線関数の二倍角の公式ですが、下の「関連記事」の中に細かい説明がありますので、是非ご覧になってみてください。

(2)は(1)をヒントにして、x=¥cos{¥theta}などと置きます。不思議な問題ですが、良問です。「関連記事」の問題と合わせて演習されると、このタイプの問題はほぼ押さえた、と言っても大丈夫だと思います。


他にも、方程式

y=¥frac{1}{2}¥left(x-¥frac{1}{x}¥right)

z=¥frac{1}{2}¥left(y-¥frac{1}{y}¥right)

x=¥frac{1}{2}¥left(z-¥frac{1}{z}¥right)

をみたす相異なる実数解の個数をみたす際に、x=¥frac{1}{¥tan{¥theta}}などと置くと上手くいくことなどを知っておかれると、役に立つかもしれません(御自分で確かめてみてください)。この手のタイプは大学で用いる教科書などで良く見受けられますのが、下の「関連記事」を見て頂けるとお分かりの通り、大学入試でも頻繁に出題されておりますので、興味のある方は春休みなどを利用して、色々調べてみるのも勉強になるかも知れませんね。

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やよいやよい 2008/03/31 19:32 a,b,c>1以降はb-a=2a^2-a-1=(2a+1)(a-1)>0よりb>a.同じくc>b,a>cで不合理ともできますね.

gould2007gould2007 2008/04/01 19:17 >>やよい様

背理法を用いるわけですね。(1)は色々な解き方ができそうですね。

2008-03-28 三角関数を見つけ出せ!

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問題

難易度:¥omega、解答時間:50分

f:id:gould2007:20080329165739p:image


解答

f:id:gould2007:20080329165735p:image

f:id:gould2007:20080331163233p:image

解説

出典:2001年度、後期、金沢大学(金沢大学)、理系

知らないと試験場では解けない問題だと思います。

(1)は微分しても良いですし、結論を大体教えてくれていますので、解答のようにあっさりと中間値の定理で示しても良いと思います。重要なのは、bcの範囲をある程度細かく決めることで、それによって(2)以降でb=¥cos{¥beta}などと置いたときに角度を細かく設定することが可能になります。

(2),(3)いきなり¥cosが出てきて驚かれた方も大勢いたかも知れません。こちらの問題を見てください。

f:id:gould2007:20070501191448p:image

背後に潜む三角関数 - 難関大学への数学

この問題で、x=2tとおくと、問題の関数は=8t^2-6t+1となり、上の金沢大学の問題の関数と同じです。つまり、これらの問題は同じ¥cosの2倍角、3倍角の公式と方程式という共通のテーマで結ばれた問題という訳なのですが、経験がないと厳しいでしょう......。

(2)で2倍角の公式が連想されればしめたものなのですが、中々思いつきにくいと思います。


難問ですが、意外に多くの大学でこれをテーマに持つ問題が出題されています。明日の記事では京大の問題を見て、このタイプの問題に完全に慣れてしまいましょう。

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けんたろけんたろ 2008/03/30 11:52 難しいですね。逆に、(3)がなければa=cosαを思いつかないです。
(2)の270°<α<540°ではαの係数が抜けているように思います。

gould2007gould2007 2008/03/31 16:33 >>けんたろ様

ご指摘ありがとうございます。解答を訂正致しました。

ご迷惑をおかけした方は、申し訳ありません。

やよいやよい 2008/03/31 19:39 3倍角を使わせる気なら設問(2)は不要なので,作者は(2)で角度を用いない証明(例えば,多項式としてf(2a^2-1)がf(a)で割り切れること,(1)よりb^{2}<c^{2}<a^{2}から)を想定していたのかもしれません.その上で(3)でc=cosθとおくと,(2)よりb=cos2θ,a=cos4θ,cos8θ=cosθ,(1)よりa<0<b<cだから,0<θ<π/4としてよく,8θ=2π-θといった流れで….

gould2007gould2007 2008/04/01 19:23 >>やよい様

(2)は単独で解こうとすると、f(2a^2-1)=0までは何とかなるのですが、「2a^2-1がcになること」の証明が難しく、結局図形的にcosと同等のものを考える必要がありました。でも、確かに上の解答は不自然であると私も思います......。

私は元ネタの上の早稲田の問題がすぐに思い浮かんだので、何とか解けたのですが(それでもたっぷり時間はかかりました)、初見の受験生の方だと、相当な難問に感じるのでは、と思います。

いつもご指摘ありがとうございます。

やよいやよい 2008/04/01 21:16 >「2a^2-1がcになること」の証明
(1)よりb>0,a<cだからa^2-c^2=(a+c)(a-c)=b(c-a)>0ではどうでしょう?
>初見の受験生の方だと、相当な難問に感じる
確かに一度は経験しておきたい問題ですね.

gould2007gould2007 2008/04/02 18:21 >>やよい様

>>(1)よりb>0,a<cだからa^2-c^2=(a+c)(a-c)=b(c-a)>0ではどうでしょう?

い、意外に簡単にできてしまうんですね........。よく考えずに難しい、などと言ってしまいました.....。反省です。

2008-03-27 分数関数と不等式、場合分け

[]分数関数と不等式、場合分け 分数関数と不等式、場合分け - 難関大学への数学 を含むブックマーク 分数関数と不等式、場合分け - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:40分

f:id:gould2007:20080328004055p:image


解答

式(a)の後の行は×2が抜けています。早急に訂正させていただきます。

f:id:gould2007:20080328004051p:image

f:id:gould2007:20080328004022p:image

解説

出典:1998年度、前期、京都大学(京都大学)、文系

異常に面倒な問題です。解答の式(c)に当たる部分を出すまでは、標準的なのですが、ここからはとても京大で出題された問題だとは思えません。

延々と地道な場合分けが続くだけですが、いくつかポイントはあります。

先ず、aとbが同符号なときには、x^2+ab>0となりますから、実質x^2についての2次関数(a^2-b^2)(x^2-a^2)(x^2-b^2)を解けば良いことが分かります。これは|x|の関数と見てしまえば良いのかも知れませんが、問題文で問われているのは「xの範囲」についてであって、「|x|の範囲」についてではありません。なので、解答の中に|x|を残したままなのは、やはりまずいのではないかと思われます。そこで、初めから、4次関数(a^2-b^2)(x+a)(x-a)(x+b)(x-a)を考えてしまいます。これは、x¥to¥pm¥inftyのときに¥to¥inftyになることから、簡単にグラフの概形が分かります(考えてみてください)。後は、a,b,-a,-bの大小と不等号の向きに注意しながら、慎重に範囲を書き出していくだけです。

aとbが異符号の場合も基本的には同じことで、最初からxの6次関数(a^2-b^2)(x+a)(x-a)(x+b)(x-b)(x+¥sqrt{-ab})(x-¥sqrt{-ab})のグラフを描いてしまうのが一番楽だと思います。見た目ですぐに範囲が分かりますし、間違いも多少は減らすことができます。


それにしても解いていて10回も場合分けをした問題は初めてです。

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ケアンケアン 2008/03/28 23:10 一度見たことある問題です。うろ覚えですが、絶対値をうまく使えば、もう少しまとまって(たしか5通り)場合分けできたと思います。

2008-03-25 相加平均が減少数列である場合

[]相加平均が減少数列である場合 相加平均が減少数列である場合 - 難関大学への数学 を含むブックマーク 相加平均が減少数列である場合 - 難関大学への数学 のブックマークコメント

問題

難易度:¥gamma、解答時間:35分

f:id:gould2007:20080325225618p:image


解答

f:id:gould2007:20080325225507p:image

解説

出典:2006年度、前期、山形大学(国立大学法人 山形大学)、医学部

左側の不等式は難問です。

右側の不等式はほとんど当たり前で、これは一瞬で示せます。

左側についてですが、これは色々なやり方があると思うのですが、解答ではa_1¥ge a_2¥ge ¥cdots ¥ge a_nのときに、第m項までの相加平均b_m=¥frac{1}{m}¥sum_{k=1}^{m}{a_k}が広義の減少数列であることを使用しています。

この方法を取るには、1=¥sum_{k=1}^{n}{a_k}が左側に潜んでいることに気がつく必要があり、簡単ではありません。

私は最初背理法で示そうとしたのですが、l=2でいきなり混乱していまい、断念してしまいました......。上のとき方だけではなく、色々な方法があるとは思いますので、皆様も色々とお試し下さい。

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絵詰絵詰 2008/03/26 01:00 はじめまして。いつも楽しく拝見しています。
背理法でやってみました。(携帯からなので、解答は重くて見れないのです。同じ解法だったらすみません)
a_nの第k項までの和をS_kとおく。
l/n>S_l(式1)と仮定する。
a_1≧…≧a_lより、S_l≧la_l。よって、l/n>la_lなので、1/n>a_lとなる。
このとき、1/n>a_l≧a_(l+1)≧…≧a_nより、
(n-l)/n>a_(l+1)+…+a_n(式2)となる(右辺はn-l個の項の和)。

式1と式2を足して、1>S_nを得るが、これは条件(S_n=1)に反する。


以上から、式1は偽で、l/n≦S_lが示された。

やよいやよい 2008/03/26 13:06 増減を調べても示せまずね.
1/n>a_{1}またはa_{n}>1/nではΣ_{k=1}^{n}a_{k}=1に反するので,a_{k}-1/n(k=1,…,n)は0以上から0以下へ,つまりΣ_{k=1}^{l}(a_{k}-1/n)(l=1,…,n)は広義増加から広義減少へ変わり,a_{1}-1/n≧0,Σ_{k=1}^{n}(a_{k}-1/n)=0と併せて左側の不等式が成り立つ.

gould2007gould2007 2008/03/26 22:12 >>絵詰様

これはスッキリと示せていますね!お見事です。式(2)の左辺はl=nのとき0になりますが、式(1)から矛盾が導けるので問題ありませんね。

>>やよい様

最初b_nを考えたのですが、これは思いつきませんでした!良いですね。

お二人とも、良いご指摘をありがとうございました。このblogのコメント蘭では、私の解答よりも優れた解答を寄せていただき、本当に嬉しく思っております。と同時に、やはりコメント欄でも、数式が見えるようにしてもらいたいなぁ、とつくづく思います(やはり、多くの受験生の方に読んでいただきたい質の高いご指摘が多いので)。

S.NS.N 2008/09/04 00:16 いつも楽しみに拝見しています.いろいろな不等式を勉強していて、本問もかんがえてみました.遅ればせながらコメントさせてください.問題の左辺の不等式は、ご指摘の通り(a_1+ … +a_n)/n ≦ (a_1+ … +a_l)/lです.この意味を考えると、あまりにも当然です.すなわち具体例で考えれば、「上位 l(1ではなくエル)人の平均点は、下位の人数を加えたn人の平均点より大きい」を意味します.この当然のことを生かした証明を考えました.(簡単にできそうで以外に苦労しました.) 
(a_1+ … +a_l)/l=mとおくと(上位l人の平均点) 
(a_1+ … +a_n)/n=(a_1+…+a_l+a_{l+1}+…+a_n)/n=(lm+ a_{l+1}+…+a_n)/n (この式の分子の前半部は、平均点mがl人分)
≦(lm+ m+…+m)/n (この式の分子の後半部は、mがn-l個の和で、かつ、m≧a_{l+1}≧…≧a_n)
=(ml+(n-l)m)/n=nm/n=m=(a_1+ … +a_l)/l 証明終わり
(コメントでの数式は本当に書きにくいですね!うまく書けているか心配です.)

2008-03-24 方程式と三角関数の周期性、係数の決定

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問題

難易度:¥gamma、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080324221313p:image


解答

f:id:gould2007:20080324221311p:image

f:id:gould2007:20080324221309p:image

f:id:gould2007:20080324221234p:image

解説

出典:2004年度、前期、東京医科歯科大学(国立大学法人 東京医科歯科大学

(1),(2),(3)はどれも易しい問題です。(1)では¥sin{3¥theta}=3¥sin{¥theta}-4¥sin^3{¥theta}=¥sin{¥theta}(3-4¥sin^2{¥theta})¥sin^2{¥theta}+¥cos^2{¥theta}=1を代入して、¥sin^2{¥theta}を消去しましょう。

(2)はいつもの極限です。

(3)も(2)があるので何をすれば良いのかがすぐにピンとくるでしょう。

(4)で差が開きます。取り合えずx^2-3x+2=(x-2)(x-1)ですので、x=2,1を代入してみましょう。x=2の場合は、(3)がヒントになっているのでf_n(2)の値はすぐに分かります。

x=1の場合が厄介ですが、n=1,2,3,¥cdotsとしていくと、¥sin{¥frac{(n+1)¥pi}{3}}が周期数列で、特定の値しかとらないことに気がつかれると思います。後は、nが整数であることからnを決定していきます。

解答では面倒を避けるために合同式の記法を用いていますが、こんな書き方をしなくても全く問題ありません。東京医科歯科大学ではこのように、やや易し目の誘導をつけて引っ張っておき、最後で難しい設問を持ってくる、という出題が続いています。流れを意識しながら問題に取り組まれると実力がアップすることでしょう。

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問題

難易度:¥gamma、解答時間:45分

f:id:gould2007:20080323020052p:image


解答

f:id:gould2007:20080323020019p:image

解説

出典:1982年度、東京大学(no title)、文系

難しい問題です。計算だけと言えば計算だけなのですが、その計算をきちんとやると、時間があっという間に過ぎていってしまいます。

先ず最初に与えられた4次方程式の左辺が偶関数であることに気がつきます。なので、ある¥alphaが解ならば、-¥alphaも解になります。これと、与えられている数値近似と誤差を使うと、解答での¥alpha,¥betaの範囲が分かります。

ここからが頭の使いどころで、解答では解と係数の関係から、b={¥alpha}^2{¥beta}^2ですので、取りあえずこれを計算してみることにします。すると、bが整数という条件からbが求まります。

ここからもさらにステップが必要で、aを求める必要があり、ハードな数値計算が待ち受けています。解答ではキチンと全桁計算していますが、答案ではここまでする必要なないと思います。

a,bを求めると、無事解の値は分かります。実際に解を求めることができる割には、問題の表現はやや勿体ぶっていますので、実際に解を求めずとも答えを出す方法があるのかも知れません。ただし、一般に数値近似の問題では、実際の数値そのものが求まるならば、それを求めてしまう方が、方法としては楽になります。


高校生の方ですと今はもう春休みなのでしょうか。新受験生の方は、そろそろペースが掴めてきたのかも知れません。塾や予備校に忙しい毎日を過ごされているのではないでしょうか。

最近変な風邪が流行っているようで、私が講師をしている塾の生徒さんの中にも、インフルエンザっぽい症状の風邪を引いている人がチラホラといます。受験生活において風邪は時間の無駄になるだけですので、家に帰ってきたら必ずうがいをする習慣を身につけてください(薬を飲むよりも、手洗いうがいを10回する方が、風邪の予防にははるかに効果的という研究結果があります)。

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やよいやよい 2008/03/23 14:50 解答のaを求める部分は厳しい(笑)ので,そのまま-aを0.56^2+3.4^2=11.8736,0.59^2+3.47^2=12.389で挟んではどうでしょうか?また最後はf(x)=(x^2+2)^2-(4x)^2=(x^2+4x+2)(x^2-4x+2)と分解できますね.
私はαβ,α+βを求める方針でやってみました.
0.56≦α≦0.59,3.4≦β≦3.47より0.55<α<0.6,3.4<β<3.5だから1.87<αβ<2.1,3.95<α+β<4.1.
解と係数との関係よりα^2β^2=b,α^2+β^2=-aだからαβ=√{b},α+β=√{2αβ-a}.
ここでbは整数だから√{3}<1.8,2.1<√{5}よりαβ=√{4}=2.
よってα+β=√{4-a}となり,aは整数だから√{15}<3.9,4.1<√{17}よりαβ=2,α+β=√{16}=4.よってα,βはx^2-4x+2=0の2解つまり,2±√{2}.
ここで1.41<√{2}<1.42だから0.58<2-√{2}<0.59,3.41<2+√{2}<3.42.

gould2007gould2007 2008/03/25 23:07 >>やよい様

すいません大熱を出してしまい返信が遅れてしまいました.......。

>>私はαβ,α+βを求める方針でやってみました.

これも良い方法ですね!また、因数分解は見落としてしまっていました。この問題は見た目以上に難しい問題だと感じました。

良いご指摘をいつもありがとうございます!

やよいやよい 2008/03/26 13:00 >大熱
季節の変わり目に付,くれぐれもご自愛下さい.

2008-03-22 チェビシェフの多項式(大阪大学)

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問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

f:id:gould2007:20080323003855p:image


解答

f:id:gould2007:20080323003854p:image

f:id:gould2007:20080323003852p:image

f:id:gould2007:20080323003830p:image

解説

出典:2008年度、後期、大阪大学(Top page ? Osaka University)、理系

またもやチェビシェフの多項式の出題。今年度は何かあったのでしょうか。

(1)これも採点を調節するための問題。確実に取りましょう。

(2)チェビシェフの多項式の問題では、解答のように加法定理を用いて漸化式を作ることが良く知られています。帰納法でも良いのですが、便利なので記憶に留めておかれると良いと思います。

(3)意外に解答を書くのに手こずります。何が¥alphaで何がtで、何がxになるのかにご注意下さい。(2)を誘導と考え、上手く使っていきましょう。

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問題

難易度:¥beta、解答時間:30分

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解答

f:id:gould2007:20080322234621p:image

f:id:gould2007:20080322235250p:image

f:id:gould2007:20080322234532p:image

解説

出典:2008年度、前期、埼玉大学(埼玉大学)、理学部数学学科


(1)点をとってくださいという問題。採点のための問題ですが、こういった問題はきっちりと取れるようにしておきましょう。こういった問題で間違えると、後に響いてきます。

(2)帰納法でも良いですし、解答のように定数列になることを示しても良いと思います。

(3)これがメインですが、難しくはないと思います。帰納法で片付けます。


解答の関数f_n(x),g_n(x)を「チェビシェフの多項式」といいます。多項式の最大値、最小値を考えるときに用いられるもので、大学入試で良く取り上げられています。色々な面白い性質があるのですが、下の関連記事でまとめておきましたので、是非ご覧になってください。

それにしても、今年度はチェビシェフの多項式の出題が多い年でした。

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