水星の近日点移動(5)

前回の (1) 式を $L^2$ で割った式
$\Large \left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \frac{E^2-m^2c^4}{c^2L^2}+\frac{2GMm^2u}{L^2} - u^2+r_{\rm g} u^3$
から $r_{\rm g}u^3$ の項を落とした式を書き換えて
$\Large \left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \frac{e^2}{l^2} - \left(u-\frac{1}{l}\right)^2$
まで計算したのだった。

$r_{\rm g}u^3$ の項を復活させると
$\Large \left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \frac{e^2}{l^2} - \left(u-\frac{1}{l}\right)^2+r_{\rm g} u^3\hspace{243pt}(1)$
見やすくするために
$\Large u=\frac{y}{l}\hspace{446pt}(2)$
として、u を y で書き改めると
$\Large \left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}\phi}\right)^2 = e^2 - (y-1)^2 + \alpha y^3\hspace{252pt}(3)$
ここで
$\Large \alpha = \frac{r_{\rm g}}{l}\hspace{434pt}(4)$
とした。
$e\approx 0.2,\;\alpha \approx 5\times 10^{-8}$ で、この形になれば $\alpha y^3$ を摂動項と見なせることは明白だ。

(3) を振動子の方程式と見て、釣り合いの位置 $y_0$ の周りで展開する。 $y_0$ の値は後で決めることにして
$\Large y = y_0 + y'\hspace{400pt}(5)$
とすると (3) は
$\Large \left(\frac{{\rm d}y'}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \gamma^2 + (2-2y_0+3\alpha{y_0}^2)y' - \omega^2 y'^2 + \alpha y'^3\hspace{50pt}(6)$
となる。ただし、正の実数 γ, ω を導入して
$\Large \gamma^2 = e^2-(y_0-1)^2 + \alpha{y_0}^3\hspace{262pt}(7) \\ \omega^2 = 1-3\alpha y_0\hspace{369pt}(8)$
とした。
$y_0$ は釣り合いの位置なので、(6) の右辺の $y'$ の1次の項の係数は 0 になる。
$\Large 2-2y_0+3\alpha{y_0}^2=0\hspace{317pt}(9)$
これから
$\Large y_0 = 1 + \frac{3\alpha}{2}{y_0}^2 = 1 + O(\alpha)\hspace{268pt}(10)$
これを (8) に代入して
$\Large \omega^2 = 1-3\alpha+O(\alpha^2) \\ \omega = 1-\frac{3}{2}\alpha+O(\alpha^2)\hspace{322pt}(11)$
同様に (7) から
$\Large \gamma = e+O(\alpha)\hspace{380pt}(12)$

(9) により (6) の y' の1次の項が落ちるので、書き直すと
$\Large \left(\frac{{\rm d}y'}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \gamma^2 - \omega^2 y'^2 + \alpha y'^3\hspace{251pt}(13)$

いくつかの文献で採用されている方法にここではひとまず従って、(13) の $\alpha y'^3$ の項を無視してしまうことにする。
$\Large \left(\frac{{\rm d}y'}{{\rm d}\phi}\right)^2 = \gamma^2 - \omega^2 y'^2$
この方程式の解は、φ の原点で y' が最大になるように初期条件を選べば
$\Large y' = \frac{\gamma}{\omega} \cos(\omega\phi)$
(2)(5) と u=1/r により、r の式に直すと
$\LARGE r = \frac{l}{y_0+y'} = \frac{l}{y_0 + \frac{\gamma}{\omega}\cos(\omega\phi)} = \frac{\frac{l}{y_0}}{1 +\frac{\gamma}{\omega y_0}\cos(\omega\phi)}$

$l'=l/y_0,\;e'=\gamma/(\omega y_0)$ とすれば
$\Large r = \frac{l'}{1+e'\cos(\omega\phi)}\hspace{364pt}(14)$
これを無摂動の場合の解、前回の最後の式
$\Large r = \frac{l}{1+e\cos\phi}\hspace{393pt}(15)$
と比較する。

まず、(10)(11)(12) により
$\Large l'=l(1+O(\alpha)),\;e'=e+O(\alpha)\hspace{224pt}(16)$
なので、軌道のパラメーター $l,\;e$ が摂動の影響でわずかにずれることが分かる。

より重要なのは、(14) で cos の中身に余分の ω がかかっていることで、この影響で太陽水星間の距離 r が最小値を取ってから次の最小値になるまでに φ が 2π/ω 動くことになる。r が最小値を取る点が近日点だから、これは水星が近日点を迎えてから次の近日点を迎えるまでに、2π/ω ラジアン回転するということを意味する。回転が2πラジアンなら丁度同じ点に戻ってくるので、その差
$\Large \delta\phi = \frac{2\pi}{\omega}-2\pi$
の分だけ、近日点が水星の公転と同じ方向に移動する、つまり前進することになる。
(11) を使って
$\Large \delta\phi = 2\pi\left(\frac{1}{\omega}-1\right) = 2\pi\frac{1-\omega}{\omega}=2\pi\frac{3\alpha/2+O(\alpha^2)}{1+O(\alpha)} = 2\pi\left(\frac{3}{2}\alpha + O(\alpha^2)\right) = 3\pi\alpha + O(\alpha^2)$
(4) により結局
$\Large \delta\phi = \frac{3\pi r_{\rm g}}{l}+O\left(\frac{{r_{\rm g}}^2}{l^2}\right)\hspace{309pt}(17)$

結果を、太陽質量 M、水星軌道の長半径 a、離心率 e で表しておく。
以下、面倒なので $O({r_{\rm g}}^2/l^2)$ の項は省略する。
$r_{\rm g} = 2GM/c^2,\; l = (1-e^2)a$ *1 を (17) に代入して
$\Large \delta\phi = \frac{6\pi GM}{c^2a(1-e^2)}\hspace{364pt}(18)$

δφ は1公転ぶんの近日点移動なので、これを公転周期 T で割れば単位時間当たりの近日点移動 Δφ が求まる。
ケプラーの第3法則より
$\Large T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$
だから
$\Large \Delta\phi = \frac{\delta\phi}{T} = \frac{3}{c^2(1-e^2)}\sqrt{\frac{G^3M^3}{a^5}}\hspace{245pt}(19)$

$\Large M = 1.989\times 10^{30}{\rm kg}\\ a = 0.3871\,{\rm AU} =5.791\times 10^{10}{\rm m} \\ e=0.2056$
として計算すると(AU は天文単位)
$\Large \Delta\phi = 6.60\times 10^{-14}{\rm rad/s} = 43.0''/100{\rm yr}$
一般相対論的な効果によって、水星の近日点が100年間で43秒前進するというよく知られた結果を得る。

最後に (18)(19) を導くのに使った近似について書いておこう。
ただし、水星が他の惑星から(相対論的な摂動より1桁程度)大きな摂動を受けていることや、観測精度には目をつぶっておく。

(i) 観測される軌道のパラメーターは摂動を受けたあとのもの ((16) の $l',\;e'$ みたいなもの) だが、それを無摂動時のパラメーター $l,\;e$ と同一視している。
(ii) 近日点移動や (13) で落とした y' の3次の項の影響で、厳密には楕円とは言えない軌道を無理やり楕円と考えている。
(iii) ケプラーの第3法則を導くときに相対論版の角運動量保存則 $r^2\dot{\phi}={\rm const}$ を使うのだが、このときに固有時 s (つまり水星に置いた時計の刻む時間)と座標時 t を同一視する近似をしてニュートン力学版の第3法則の形にしている。

これらによって持ち込まれる相対誤差は (i)(ii) が $O(r_{\rm g}/l)$ 、(iii) は v を水星の速度として $O(r_{\rm g}/l)+O(v^2/c^2)$ で $r_{\rm g}/l$ と $v^2/c^2$ は同程度の大きさ。
結局、(17) がもともと持っている相対誤差 $O(r_{\rm g}/l)$ を考えると、これらの誤差は無視して問題ない。

*1:近日点距離 q、遠日点距離 Q はそれぞれ (15) の最小値、最大値なので $q=\frac{l}{1+e},\; Q=\frac{l}{1-e}$ 。長半径はこの平均で $a=\frac{q+Q}{2} = \frac{l}{1-e^2}$ 。