資産価格の理論：私的概論／（１１）効率的フロンティアの導出

概論の本論は昨日のエントリまでで、今日以降は数学補論。

付録Ａ　効率的フロンティアの導出

本シリーズの第一回で解説した効率的フロンティアを導出するため、実際に最適化問題を解いてみる。

ラグランジュアンを以下のように置く。
　 $\scr{L}=\vec{w}'\text{C}\vec{w}-2\lambda(\vec{w}'\vec{u}-1)-2\eta(\vec{w}'\vec{e}-R)$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（A-1）
ただし2λ、2ηはラグランジュの未定乗数法における未定乗数。すると

　 $\frac{1}{2}\frac{d\scr{L}}{d\vec{w}}=\text{C}\vec{w}-\lambda\vec{u}-\eta\vec{e}=0$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（A-2）
（A-2）にw’をかけると
　 $\vec{w}'\text{C}\vec{w}-\lambda\vec{w}'\vec{u}-\eta\vec{w}'\vec{e}=\vec{w}'\text{C}\vec{w}-\lambda-\eta R=0$ 　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（A-3）
よって
　 $\lambda=\vec{w}'\text{C}\vec{w}-\eta R$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（A-4）
（A-2）（A-4）より
　 $C\vec{w}-(\vec{w}'\text{C}\vec{w}-\eta R)\vec{u}-\eta\vec{e}=0$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（A-5）
（A-5）にu’C^-1をかけると
　 $\vec{u}\text{C}^{-1}\text{C}\vec{w}-\vec{u}\text{C}^{-1}(\vec{w}'\text{C}\vec{w}-\eta R)\vec{u}-\eta\vec{u}\text{C}^{-1}\vec{e}\\=1-\vec{u}\text{C}^{-1}\vec{u}(\vec{w}'\text{C}\vec{w})-\eta(-\vec{u}\text{C}^{-1}\vec{u}R+\vec{u}\text{C}^{-1}\vec{e})=0$ 　　　　　　　　　　　・・・（A-6）
ここでL= u’C^-1u、M= u’C^-1e、N= e’C^-1e、D=NL-M²と置く。
また、ポートフォリオの分散w’Cwをσ²と置く。すると
　 $\eta=\frac{1-L\sigma ^2}{M-RL}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（A-7）
（A-4）（A-7）より
　 $\lambda=\sigma ^2-\frac{1-L\sigma ^2}{M-RL}R=\frac{M\sigma ^2-R}{M-RL}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（A-8）
（A-2）にe’C^-1をかけ（A-7）（A-8）を代入すると
　 $\vec{e}'\text{C}^{-1}\text{C}\vec{w}-\lambda\vec{e}'\text{C}^{-1}\vec{u}-\eta\vec{e}'\text{C}^{-1}\vec{e}\\=R-\frac{M\sigma ^2-R}{M-RL}M-\frac{1-L\sigma ^2}{M-RL}N\\=\frac{1}{M-RL}\left(MR-LR^2+(NL-M^2)\sigma^2+RM-N\right)=0$ 　　　　　　　　・・・（A-9）　　　　　　　　　