少し前にバローによるレア・ディザスター*1に関するNBER論文を2編紹介したが（ここ、ここ）、このテーマに関する表題のかなり技術的なNBER論文が上がっている。原題は「Solution Methods for Models with Rare Disasters」で、著者はJesús Fernández-Villaverde（ペンシルベニア大）、Oren Levintal（Interdisciplinary Center (IDC) Herzliya）。
以下はungated版の結論部からの引用。
Models with rare disasters have become a popular line of research in macroeconomics and finance. However, rare disasters, by inducing significant non-linearities, present non-trivial computational challenges that have been largely ignored in the literature or dealt with only in a non-systematic fashion. To fill this gap, in this paper, we formulated and solved a New Keynesian model with time-varying disaster risk (including several simpler versions of it). Our findings were as follows. First, low-order perturbation solutions (first, second, and third) do not offer enough accuracy as measured by the Euler errors, computed statistics, or impulse response functions. A fifth-order perturbation fixes part of the problem, but it is still not entirely satisfactory regarding accuracy and it imposes some serious computational costs. Second, a second-order Taylor projection seems an excellent choice, with a satisfactory balance of accuracy and run time. A third-order Taylor projection can handle a medium size model with even better accuracy, but at a higher cost. Finally, Smolyak collocation methods were accurate, but they were hard to implement (we failed to find a solution on several occasions and faced memory limitations) and suffered from long run times.
（拙訳）
稀に発生する災害（レア・ディザスター）を織り込んだモデルは、マクロ経済学とファイナンスにおいて人気のある研究分野となった。しかし、レア・ディザスターは顕著な非線形性をもたらすため、計算において無視できない課題を提起する。そうした課題はこの分野においては概ね無視されてきたか、もしくは非体系的な方法で対処されるにとどまってきた。その隙間を埋めるため、本稿では、時変的な災害リスク（その単純化バージョンを含む）を伴うニューケインジアンモデルを定式化し解いた。我々が見い出した結果は以下の通り。第一に、低次（1次、2次、および3次）の摂動解法では、オイラー誤差、計算された統計量、もしくはインパルス反応関数により測定される正確性について十分な精度を得ることはできなかった。5次の摂動では問題は部分的に解決されるが、それでも正確性という点で十分なものとは言えず、計算コストはかなり大きくなる。第二に、2次のテイラー予測は、正確性と計算時間について十分にバランスが取れており、素晴らしい選択肢のように思われる。3次のテイラー予測は中規模のモデルをさらに高い精度で扱うことができるが、ただし計算コストも高まる。最後に、スモリャク・コロケーション法は正確ではあるが、導入が難しく（我々は幾つかのケースにおいて解を見つけることができず、メモリーの限界にも直面した）、計算時間が長いという問題もある。
テイラー予測については、論文の導入部では以下のように説明されている。
Like standard projection methods, Taylor projection starts from a residual function created by plugging the unknown decision rules of the agents into the equilibrium conditions of the model and searching for coefficients that make that residual function as close to zero as possible. The novelty of the approach is that, instead of "projecting" the residual function according to an inner product, we approximate the residual function around the steady state of the model using a Taylor series, and find the solution that zeros the Taylor series.
（拙訳）
通常の予測手法と同様、テイラー予測は、まず、経済主体の未知の決定ルールをモデルの均衡条件に入れることによって残差関数を生成し、その残差関数を可能な限りゼロに近付ける係数を探索する。この手法の新しい点は、内積によって残差関数を「予測する」のではなく、モデルの定常状態周りの残差関数をテイラー級数を用いて近似し、そのテイラー級数をゼロとする解を見つけることにある。
本文では以下のように説明されている。
As with standard projection methods, the goal is to find Θ for which the residual function R(x,Θ), defined by equation (22), is approximately zero over a certain domain of the state space that is of interest. Taylor projection builds on the Taylor theorem, which states that R(x,Θ) can
be approximated in the neighborhood of x0 by a kth-order Taylor series about x0. If the kth-order Taylor series is exactly zero (i.e., all the Taylor coefficients up to the kth-order are zero), then R(x,Θ) ≈ 0 in the neighborhood of x0. Thus, Taylor projection finds Θ for which the kth-order Taylor series of the residual function about x0 is exactly zero. This amounts to ... the residual function and all its derivatives up to the kth-order should be zero at x0. When this holds, all the terms of the kth-order Taylor series of R(x,Θ) about x0 are zero.
...
Taylor projection offers several computational advantages over standard projection methods. First, a grid is not required. The polynomial coefficients are identified by information that comes from the model derivatives, rather than a grid of points. Second, the basis function is a complete polynomial. This gives additional flexibility over Smolyak polynomials.
（拙訳）
通常の予測手法と同様、目的は、(22)式で定義される残差関数R(x,Θ)が、研究対象となる状態空間の特定の領域においてゼロに近くなるようなΘを見つけることである。テイラー予測はテイラーの定理に基づいており、R(x,Θ)がx0近辺ではx0周りのk次のテイラー級数で近似できる、としている。もしk次のテイラー級数が正確にゼロならば（即ち、k次までのすべてのテイラー係数がゼロならば）、x0近辺でR(x,Θ) ≈ 0となる。従って、テイラー予測においては、残差関数のx0周りのk次のテイラー級数が正確にゼロとなるΘを求めることになる。このことは、・・・x0において残差関数ならびにそのk次までのすべての導関数がゼロになるべき、ということを意味する。それが成立すれば、残差関数のx0周りのk次のテイラー級数のすべての項はゼロとなる。
・・・
テイラー予測には、通常の予測手法に比べ、幾つかの計算上の長所がある。第一に、グリッドが必要なくなる。多項式の係数は、格子点ではなくモデルの導関数から得られる情報によって求められる。第二に、基底関数が完全多項式*2となり、スモリャク多項式よりも柔軟性が増す。
また、スモリャク多項式については以下のように説明されている。
Smolyak polynomials are products of Chebyshev polynomials, but unlike tensor products, which grow exponentially, the number of terms in Smolyak polynomials grows polynomially with the number of state variables.
（拙訳）
スモリャク多項式はチェビシェフ多項式*3の積であるが、指数関数的に増大するテンソル積と異なり、スモリャク多項式の項数は状態変数の数を基数（冪数ではなく）とする冪で増大する*4。
*1:cf. レア・ディザスター - Wikipedia。
*2:ここの説明によれば、定数（0次）から最大次数に至るまでのすべての次数の項が揃った多項式。
*3:cf. チェビシェフ多項式 - Wikipedia。
