第四回「層・圏・トポス　現代的集合像を求めて」勉強会

第四回「層・圏・トポス　現代的集合像を求めて」勉強会*1に行ってきました。今回は、前回の復習をじっくり数時間やって、実際には数ページだけ進みました。

で、ハマったのが二カ所です。

P74 Sets^(C^op)(Y_c(),F) と Fが自然同型ってなんでわかるの？
P74 定理7の証明の fとgって？

2. については家で考えたらわかったので、ざっくり証明を与えておきます。

P74 定理7の証明

C(C',-)とC(C,-)がFを表現するので、C(C,-) -s-> C(C',-) と C(C',-) -t-> C(C,-)と言う自然同型(自然変換s,tの各コンポーネントが s;t = t;s = id となる)が存在する。

P72の米田のレンマの構成法を用いて、f = Φ'(t) = t_c'(id_c')、g = Φ(s) = s_c(id_c) と置くと、f:C->C'、g:C'->C となる。

ここでfについてP73の可換図について、id_c がどう移るかを考える。左回りの遷移では、 (C(C,f);s_c')(id_c) = s_c'(f) = s_c'(t_c'(id_c')) = (t_c';s_c')(id_c') = id_c' となる。右回りの遷移では、FがC(C',-)であることに気をつければ、(s_c;C(C',f))(id_c) = C(C',f)(s_c(id_c)) = C(C',f)(g) = g;f となる。よって、g;f = id_c' である。

f;g = id_c も同様に示せる。(Q.E.D.)

おまけ

議論の中で、「ある自然変換が自然同型だと、逆向きの自然変換があるのか」という話が出ましたが、あります。例えば、F-s->Gが自然同型を与える変換だとすると、各コンポーネントはisoなので逆射を集めてコンポーネントtを考えられます。このtに関して、任意の圏の射fについて可換図を考えると、t;Ff = t;Ff;id = t;Ff;s;t = t;s;Gf;t = Gf;t *2 となります。途中でsの可換性を使います。