ビルゲイツの面接試験―株取引編

とりあえず1問目だけ。

パスカルの三角形を書いて考えてたらいい解答を思いついた。

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n段目にいる時に生還できる確率を $P_n$ と置くと $P_5,P_6$ はそれぞれ $P_5 = ￥frac{1}{2}P_4 + ￥frac{1}{2}P_6$ , $P_6 = ￥frac{1}{2}P_5 + ￥frac{1}{2}P_7$ と書ける。

$P_6$ を代入して消すと、 $P_5 = ￥frac{1}{2}P_4 + ￥frac{1}{4}P_5 + ￥frac{1}{4}P_7$

$P_7=1$ で、 $P_4$ はど真ん中なので $P_4 =￥frac{1}{2}$ だろう。つまり解けて $P_5=￥frac{2}{3}$ 。

2問目の証明はうまく出来ない。

追記

元ネタのビルゲイツの面接試験ネタに便乗神は細部に宿り給うのコメントに同じ解答がありました。残念。

2006-08-18 追記続いて2問目

1問目のビルゲイツの面接試験ネタに便乗神は細部に宿り給うのコメント欄に以下の考察がありました。

上に登るのも、下に降りるのも、確率は等しく同じであるのだから、

最上段への到達可能性は純粋にその距離の短さに比例する。

確かにそう。でもこれって自明と考えていいんだろうか？特に2問目の証明ってこれを証明することと同値じゃないのかな？…とはるか昔高校生の時に味わったなつかしい感覚がよみがえる。ちなみにこれを使うと中学生程度の数学で証明できるといえばできる。

N は QP を a : b に分けるところに位置すると考えよう。

 
  Q               N        P (ドル)
  --------------------------
  <---------------><------->
          a        :  b      ( a + b = 1)

a+b=1としても一般性を失わない。すると先ほどのコメントの考察よりそれがそのまま確率となり

 株の売却金額 | Qドル | Pドル |
 確率         |  b    |   a   |

つまり、売却の期待値 = b×Q + a×P。

ところで a : b = (N - Q) : (P - N)なので b(N-Q)=a(P-N)、つまり b×Q + a×P = N(a+b) = N

よって売却の期待値 = N。

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siuye 2006/08/18 23:42 （人によると思いますが）自明じゃないと思います…．＞比例
証明自体は簡単ですけれど．

hiroakiuno 2006/08/19 00:34 ありがとうございます。そうですよね。私も今一つしっくりこないので、上記の証明も式変形しただけで証明になっていない気がしています。
言い換えればその距離に比例するという部分を簡単に証明できればよい訳なんですが…。

いげ太 2006/08/19 13:25
はじめまして。追記で取り上げられている、コメントを書いた
張本人のいげ太です。

んー、やはりというか、強引な解き方でしたか。。。

中央、４段目からの生還率が 1/2 であることが自明であるならば、
より上位の段に行くほど生存率が高くなることも明らかだろうから、
「距離の短さに比例する」としても飛躍ではないだろう、と考えました。

「神は細部に宿り給う」のコメントで書いたとおり、
いったん別の解法で解いた後に考えたものなので、
ちぐはぐな解答になってしまったのかもしれません。。。

ていうか、比例って僕の時代じゃ小６で習ったような。。。
学がないのがバレバレだ。さんすうドリルでも買いに行くか orz

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Schi Heil と叫ぶために

2006-08-17

追記

2006-08-18 追記 続いて2問目

2006-08-18 追記続いて2問目