ゆっくり考察する暇がないので、メモ。いろいろ指摘してくださったかたありがとうございます。
ツブヤキはここ
僕は、「ラグランジアンまたは作用について、その中の変数φについて連続的な変数変換Gがあれば、それはすなわちリー群であり、よってそれに付随するリー環gがあって、それこそが無限小変換そのものであり、保存則はそれに関連して導出される」と考えてた。
連続的な変数変換は、正確には
変数φが位相空間上Mの点であって、群Gもとある位相空間上Nの点であり、群Gによって誘導される写像πG：N×M∋(G,φ)→πG(φ)∈Mが写像として連続である
と定義する。
群Gが住む位相空間Nはどんなものか?
群Gが可微分多様体上の点だとする。リー群
パラメータ空間上の微分同相写像については、リー群と言ってよさそう。
no title
リー群だったら、リー環が付随してくるので、話はめでたし。
Q 可微分はとってもよいのか？あとの条件は維持。局所的にはR^nと同相で連続(離散的な位相はもちろん不可)
A よさそう。wikiによると「Gが位相多様体で連続な群演算をもつならGをリー群にできる」らしい。
Q 連続でないとする。群Gがたんなる位相空間上の点
A ダメそう まぁ、そうだろう。
@H_H 無限次Galois拡大(たとえばQの代数閉包)のGalois群を考えると、pro-finite群と呼ばれる位相群が現れます。この群は有限離散群の無限直積の部分群になるので自然に位相が入り、位相群になります。が、どう見てもLie群ではなさそう
Q 帰納的極限がとれる。連続ぽい。
A 一般的にはダメ。位相空間としての帰納極限を取っても群演算が連続にならない例があるらしい。局所コンパクト群ならOKらしい。no title
Q 立場を変えて、無限小変換がリー環じゃないものから考えてみる。
A マオさんの指摘からだけど、具体的のどう構成したらネーターの定理に結び付けられるかがわからなかったです。
Q 対称性は連続なものだけか？
A そうとはかぎらない。鏡像変換とかあるしね。
Q 不連続な対称性についても、保存則が導くことができるか？
A できるかもしれないけど、どう定式化すれば分からない。てか考えてない。
Noetherの定理の主張(のコア)は、"Aに作用する微分δに対してδ(X)=[F,X]となるFが存在する"ということで、これは一般には正しくないけれど、正しい場合も多い(Noetherの定理が常に正しくないというのはSymplectic多様体の古典的な状況でも起きることです)。微分がこのような形で書ければ、元の時間発展aを復元するのは、Heisenbergの運動方程式と同じ手続きです(大域的に解は存在するのか、とか面倒くさい問題がありますが)。古典論では、Poisson代数があって、Poisson代数に作用する微分δが、δ(X)={F,X}と書ける、というのがNoetherの定理のコアの部分だと思います。Lagrange形式では？というのは、わたしは知りません
で、Noetherの定理が正しいとすると、無限小対称性を探すのは、ハミルトニアンと交換する演算子(Aの元)を全部見つけましょう(つまり保存量ですが)という問題になりますが、保存量全体は一般に結合代数になり、結合代数はLie環の包絡代数な場合もあるけど、量子群とかは別にそうじゃない（というのが、twitterで書いたことだった気がします)。結合代数はLie環と思えるのだから、量子群だってLie環だという言い方もできるけれども、それは適切な代数構造じゃないでしょう
まあ、無限小変換がLie環か？と言われればyesと言ってもいいけど、無限小対称性がLie環か？と聞かれれば、質問者が、無限小対称性を、どのように定義しているか、に依存する、というのが正しい気が。あと個人的には、対称性=群が最初にあって、そこから、無限小対称性が出るのだ、という見方はよくないのではないか、という気がします。Heisenberg模型なんかで、sl(2)対称性があっても、大域的対称性を考えたりしないですし、物性なんかでは"無限小対称性しかない"、というのは普通のシチュエーションな気がするので、これは大域的にはどういう対称性に対応してるんだ、とか悩み出すと、泥沼にはまるような
長々と失礼しました