級数の公式 - ナンセンス不定記

2009-08-19

■級数の公式

等差数列の和の公式は何とか覚えていた。

$￥sum_{k=1}^n{k}=￥frac{n(n+1)}{2}$

・・・

では、

$￥sum_{k=1}^n{k^2}$ は？

$￥sum_{k=1}^n{k^3}$ は？

$￥sum_{k=1}^n{k^4}$ は？

http://www.h3.dion.ne.jp/~y.ich/mathematics/sequence.htm

・・・

$(k+1)^2-k^2=2k+1$

$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$

$(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$

$(k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1$

・・・

$￥sum_{k=1}^n{(k+1)^2}-￥sum_{k=1}^n{k^2}=2￥sum_{k=1}^n{k}+￥sum_{k=1}^n{1}$

$￥sum_{k=2}^{n+1}{k^2}-￥sum_{k=1}^n{k^2}=2￥sum_{k=1}^n{k}+n$

$(n+1)^2-1=2￥sum_{k=1}^n{k}+n$

$n(n+1)=2￥sum_{k=1}^n{k}$

$￥sum_{k=1}^n{k}=￥frac{n(n+1)}{2}$

・・・

$￥sum_{k=1}^n{(k+1)^3}-￥sum_{k=1}^n{k^3}=3￥sum_{k=1}^n{k^2}+3￥sum_{k=1}^n{k}+￥sum_{k=1}^n{1}$

$(n+1)^3-1=3￥sum_{k=1}^n{k^2}+￥frac{3n(n+1)}{2}+n$

$2(n+1)^3-2(n+1)-3n(n+1)=6￥sum_{k=1}^n{k^2}$

$￥sum_{k=1}^n{k^2}=￥frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

・・・

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T.H. 2009/10/31 22:41 おととし9ヶ月ほど北国でお世話になった者です（MLも外されてしまいましたがそちらの様子が気になります＞＜）。見つけてしまったので足跡を。
高校生のとき、数学苦手なわりに級数の公式の証明みたいな地味ーな作業が好きでした。証明というより展開が好きだったのかもしれません。
# 数式がきれいだったのでもしかしてMathMLと思ったのですが違いました。。。

hiuchida 2009/11/01 11:18 T.H.さんって誰だろう・・と悩みましたが、ふと思い出して、ああ、なるほどと。
この時はすうじあむ（http://suseum.jp/）を毎日やっていたので、何だか数学の公式が懐かしくなったらしいです。数式の見た目は綺麗ですが、中はテキストでtexを書いているので、途中で挫折しました・・・＞＜。

hokama@もうTexなんて書けない 2009/11/01 21:58 イニシャルじゃわかりづらいですよね、すみません(^-^;
# ソース手打ちなんですね！数式エディタ？と思ってました…

hiuchida 2009/11/02 07:43 数式エディタ？なんて便利ものがあればいいのですが、中ではmimeTeXを使って表示しているらしいです。
http://hatenadiary.g.hatena.ne.jp/keyword/%E6%95%B0%E5%BC%8F%E3%82%92%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E3%81%99%E3%82%8B%EF%BC%88tex%E8%A8%98%E6%B3%95%EF%BC%89

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