Hatena::ブログ(Diary)

hoshikuzu | star_dust の書斎 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

hoshikuzu|star_dustの日記について

書く内容の方針とかはフラフラしているのです。あまり考えていないかも知れません。面白いなぁと思うこと、大事なことだなぁと思うことを書いています。あんまり悲しいことは書かない主義。

 | 

2008-05-09

眠り姫問題の1/3派のみなさんへの質問 眠り姫問題の1/3派のみなさんへの質問を含むブックマーク 眠り姫問題の1/3派のみなさんへの質問のブックマークコメント

この日記は、5/7の当日記についての自分なりの応答です。

眠り姫問題の1/3派のみなさんへの質問があります。

問2について、みなさんは1/3という解を支持しています。また、問3については、1/2という解を支持しておいでです。OK、お気持ちはよくわかります。では、以下の問いについてはいかがですか?

◇問3−1「さぁ、あなたは目覚めた。今は場合Aの月曜日、もしくは、場合Bの月曜日であるである。場合Aである確率は?」

※これ、言っていることは問3と全く同じですよね。

◇問3−2「さぁ、あなたは目覚めた。今は場合Aの月曜日、もしくは、場合Bの火曜日であるである。場合Aである確率は?」

※場合Bでめざめる選択肢として月曜日を振り替えて火曜日に。結果として確率は同じでしょう。

◇問3−3「さぁ、あなたは目覚めた。今は場合Aの月曜日、もしくは、場合BのX曜日であるである。ただし、Xは別途定められた月か火のどちらかである。どちらであるかは教えられない。場合Aである確率は?」

※ならば、月曜か火曜かは問わないが、場合Bで目覚める可能性の月曜と火曜のうち、どちらか一方だけ廃棄するだけでよいのでは? 場合Aでの目覚めと場合Bでの目覚めは同じ程度に確からしいので…………????

おそらく、1/3派の皆さんは、すべての問いについて、1/2であると仰せになるでしょう。しかしながら本当にそれでいいですか?以下、反論してみましょう。

モンティ・ホールの問題(下記リンク参照)を応用して考えてみてください。眠り姫問題と全く同型であるはずです。

眠り姫問題が愛すべきモンティ・ホール問題と同型であるならば、1/3派の皆さんは、問3に対して、確率は1/3であるという、1/3原理主義派の意見に賛同していただけるのではないでしょうか。宗旨替えはいかがでしょうか。

念のために両方の問題が同型であるかどうか、考えてみましょうか。

まず、確認です。1/3派のみなさんにとって、場合Aの月曜日、場合Bの月曜日、場合Bの火曜日のどれかに目覚めることは、同程度に確からしい、これが考えの基本であるはずです。だから、問2に対して 1/3 という答えを提示したのでした。また、上記◇問3−3に対して、1/2という解を提示されたのです。

それでは眠り姫問題を、これと等価である問題に置き換えていきます。 つまりモンティ・ホール化していきます。

今、あなたは、モンティ・ホール・ショーに出演しています。 あなたの前には、3つのカーテンがひかれています。モンティは、まず、あなたに、カーテンをひとつ選ぶように指示しました。あなたは、適当にどれかを選択します。すると、コンピュータが公平に乱数をふって、3つのカーテンの背後に、場合A月曜日、場合B月曜日、場合B火曜日というカードを置きました。モンティはあなたに言います。「さぁ、場合Aのカードをひきあてたら、豪華な賞品を差し上げましょう。ところで・・・」続いてモンティは、カーテンの背後のカードを参照しつつ、あなたが選んだカーテン以外のふたつのカーテンのうち、場合Bのカードが置いてあるカーテンをひとつオープンします。モンティは言いました。「さぁ、場合Bのカードがおかれているカーテンをひとつあけました。カーテンを選びなおしても良いですよ?どうなさいます?」

商品をゲットしたいあなたは明晰な頭脳で持って、既に選んでいたカーテンで商品をゲットできる確率が1/3であることを知っています!!

以上の設定は、眠り姫問題で、問3-3に相当します。モンティが、はずれのカーテンを必ずオープンできる根拠を、問3-3であらかじめ保障しておいたのでした。あなたの目覚め(最初に選んだカーテン)で場合A月曜日が当選する確率は、モンティ・ホール問題において、1/3であることは周知の事実です。

ところで、問3-3の1/3と眠り姫問題の問3は同じ確率なのですよね? したがって、眠り姫問題の問3において、あなたは、1/3という解を提示すべきであったのです!

さぁ! 1/3原理主義派の意見に宗旨替えするつもりはありませんか? 詭弁だ! 変だ! という皆さん! どうか反論を!

※実は、1/2派についても。全く同様にして、眠り姫問題が、拡張したモンティ・ホール問題に帰着できるという論拠が構成できます。私はコンピュータシミュレーションまで作りました。多少無理してですけれど。1/2派のみなさん!1/2原理主義派になりませんか?

1/2派の気分 1/2派の気分を含むブックマーク 1/2派の気分のブックマークコメント

1/2派だった私

最初、私は1/2派でした。以下のような問題と等価であると考え、この問題が自分の身の上に実際に降りかかったときに、私はどう考えるのだろうか、と自問自答した結果、私は1/2派だったのです。

酔っ払い鉄道

酔っ払い鉄道問題文図解

私は酔っ払いである。やっとの思いでX駅にたどりついた。自宅はA駅周辺である。なんとかたどりつきたい。切符を買ってホームに出たら運良くA駅方面への列車が今にも出発しそうだったので駆け込み乗車をした。泥酔状態の私は座席につくなり安心して眠ってしまった。

実はこのホームから出る列車は、A駅が終点の列車とA駅経由B駅終点の列車の二通りがある。酔っ払った私がどちらの列車に乗るかは、確率がフィフティーフィフティーであるとする。泥酔の私でも、終点に行けば、車掌が起こしてくれるので、A駅終点の列車に乗れば私はすぐに帰宅可能であるし、B駅駅終点の列車にのれば、B駅からA駅までタクシー料金を支払うという出費が待っていることになるだろう。

列車の中で眠り込んだ私は、幸いにも列車が鉄橋の上を走る轟音で目覚めることになる。ただし、鉄橋をすぎればまたすぐに眠り込んでしまい、起きている間のことは忘れてしまう。したがって、次の駅がもうすぐだから起きていよう、などということはできない。酔っ払いだからしかたがない。さて、X駅からA駅までに鉄橋がひとつある。A駅からB駅までのあいだに鉄橋がまたひとつある。つまり、A駅が終点の列車では私は鉄橋による目覚めをひとつ経験し、A駅経由B駅終点の列車では、私は鉄橋による目覚めをふたつ経験する。なお、ふたつの鉄橋による目覚めは区別ができないものとする。景色や、車内放送ほか、得られる情報はないものとする。

問2:「(鉄橋の轟音で)さぁあなたは目覚めた。あなたが、A駅終点の列車にのっている確率は?」

かつての私は、上の設問に対し、いとも簡単に、「1/2」、ファイナルアンサー。と答えたのである。

だって、酔っ払いである私が、A駅終点の列車にのる確率は1/2なんだもーん。 いくら途中で鉄橋で目が覚めたって、その事実にはかわらないんだもーん。 それにぃ。1回目で目覚めたことと(もしあればだけれども)2回目で目覚めたことと区別がぜんぜんつかないんだもーん。だとしたら、B駅終点の列車でいつ目覚めてもそれは1回目に目覚めたのとなんら主観的には変わらないんだもーん。いつ目が覚めても実質1回しか目が覚めていないのとおんなじじゃね?だったらA駅行きでもB駅行きでも目覚めたことで得られる情報って同じなんだもーん。

・・・上の設問で1/2じゃね?と思う人は結構多いのではないかと思うんですよね。あれ?少ないですか?がっくり。


眠り姫問題1/2派への反駁

問2について1/2であると答え、問3について1/3であると答える眠り姫問題1/2派の諸兄がたに反駁してみます。問2について1/2と答えるのであれば、問3についても1/2であると答えるのがまっとうなのではないでしょうか? つまり、1/2原理主義派かもしくくはニック・ボストロム派になっていただくしかないのです、たぶん。

まず、次のような眠り姫問題の変形バージョンを考えます。

場合A場合Bともに初期設定で月曜日と火曜日に目覚めることとします。他の設定はオリジナルと同じです。

◇問1「今は日曜日、実験開始の直前である。場合Aである確率は?」

◇問2「さぁ、あなたは目覚めた。教えてやろう。あなたが目覚めたのは場合Aの月曜日かもしくは場合Bの月曜日かもしくは場合Bの火曜日である。場合Aである確率は?」

◇問3「さぁ、あなたは目覚めた。今は月曜日である。場合Aである確率は?」


さて、1/2派の皆さんの問1への回答は1/2だろうと私は予想します。間違いありませんよね? 

ならば問2への回答は? この変形版眠り姫問題でもオリジナルの眠り姫問題でも、まったく同様に、あなたが目覚めたのは場合Aの月曜日かもしくは場合Bの月曜日かもしくは場合Bの火曜日なのです。 どこにも変更がありません。 1/2派の皆さんは意見の相違のために、ここで内部分裂をするかもしれませんね。答えを二通り予想してみましょう。

ピーチ姫派::問2への回答は、1/3。

デイジー姫派::問い2への回答はあくまでもオリジナル版と同じで1/2。

まずピーチ姫派の場合ですが、あなたがたは既にオリジナル眠り姫問題の1/3派になりさがっています。問3への回答は1/2ですね? あなたがたは本当に1/2派なのでしょうか? 動揺分子ではありませんか?

次にデイジー姫派の場合を。 頑固ですねぇ。 この変形版眠り姫問題の特徴は、初期設定において、場合Aでふたつの目覚め、場合Bでふたつの目覚め、ということでしたね。 そして、問2において、場合Aのふたつの目覚めのうち片一方を減らしてみたわけです。 でもあなたがたの確率は変動せずに1/2のままです。 では問3についてはどうなのでしょう? 場合Bのふたつの目覚めのうち片方を減らしてみたわけです。オリジナル版動揺に今度は確率変動して2/3になるとおっしゃいますか? このへん、行動に首尾一貫性をもっていないように見受けられます。 つまり、場合Aの目覚めが減っても確率変動しないのに場合Bの目覚めが減ったときだけ確率変動させる。これって怪しいですよね? ね? ね?

首尾一貫とした態度をとるためには、問3について場合Bのふたつの目覚めのうち片方を減らしても、場合Aの確率は1/2のまま、と答えるのがよろしいでしょう。 結果として、ニック・ボストラム派と同じ結論になるはずです。もしくは、精密なベイズ判定の計算をして1/2原理主義派へと身をやつしても良いでしょう。

以上が眠り姫問題1/2派への反駁です。

nucnuc 2008/05/11 21:37 モンティが偶然あけたのか意図的にローズしたのかが重要なので等価になっていない気がします。
たとえば、場合Aが一日、場合Bが一万日(〜27年間)起こされるづけるのだとしましょう。さらに s/月曜日/一日目/g という変換をかけてから質問すると話が見えやすくなるような気がします。

hoshikuzuhoshikuzu 2008/05/12 15:15 わーい。nucさんだぁ。nucさんが来たからには怖いものはもうありません。

あれ?モンティが意図的にはずれカーテンをいかなる場合にもオープンできるようにしているつもりなのですけれど・・・日本語の書き方がまずいのかなぁ・・・すみません。

では、ちょっと書き換えてみますね。
===
今、あなたは、モンティ・ホール・ショーに出演しています。 あなたの前には、3つのカーテンがひかれています。モンティは、まず、あなたに、カーテンをひとつ選ぶように指示しました。あなたは、適当にどれかを選択します。すると、コンピュータが公平に乱数をふって、3つのカーテンの背後に、場合A月曜日、場合B月曜日、場合B火曜日というカードを置きました。【ここで、コンピュータはさらに次のような操作を行いました。すなわち。あなたが選んだカーテンの裏に「場合A月曜日」のカードがおかれていたならばコンピュータは何もしません。あなたが選んだカーテンの裏に「場合B火曜日」のカードがおかれていたならば、コンピュータは「場合B火曜日」のカードと「場合B月曜日」のカードを入れ替えます。コンピュータによるこの追加措置は、あなたが「場合A月曜日」のカードを引き当てる確率を一切変更しないことにご留意ください。】

モンティはあなたに言います。「さぁ、場合Aのカードをひきあてたら、豪華な賞品を差し上げましょう。ところで・・・」続いてモンティは、カーテンの背後のカードを参照しつつ、あなたが選んだカーテン以外のふたつのカーテンのうち、【場合B火曜日のカード】が置いてあるカーテンをひとつオープンします。モンティは言いました。「さぁ、場合B火曜日のカードがおかれているカーテンをひとつあけました。【つまりあなたのカーテンの裏にあるのは場合A月曜日のカードか場合B月曜日のカードかのいずれかです。】さぁ、カーテンを選びなおしても良いですよ?どうなさいます?」
===
モンティは意図的に、あなたに、選んだカーテンの背後にあるのが場合Bの火曜日ではないこと、を示すことができます。選んだカーテンの背後にあるカードは「月曜日だよ」と教えてあげたことになります。 これはオリジナルの眠り姫問題において問3「さぁ、あなたは目覚めた。今は月曜日だ。」と言っていることに、等しいと思われます。モンティ・ホール・問題においては、最初にあなたが選んだカーテンのまま強情をはっていると豪華商品に当選する確率が1/3であることを示していました。 オリジナルの眠り姫問題における問3の確率もまた、1/3であると帰結できるのではないでしょうか。

なぁんちゃって・・・

TsuSUZUKITsuSUZUKI 2008/05/12 19:09 アチラノコメントにも書いたのですが。 (w

おそれおおくも hoshikuzu さんにコメントいただいてしまいました。ありがとうございます。

やっぱり想定しうるケースが三通りある以上、1/3なんでないかと思うのですが。(w

酔っぱらいの件は自分もよく経験しましたので起きていられないのはよく分かるのですが、設問が「A駅終点の列車にのっている確率は?」だと 1/2 だと思います。
「A駅を乗り過ごした確率は?」だったら 1/3 かと。

いじょうです。

---

nucnuc 2008/05/13 21:06 おお、たしかに酔っ払い鉄道だと1/2!!
と心からびっくりしました。

が、落ち着いて考え直します。
では、もう一台がB駅で止まらずにロンドンまで行ってしまう列車で、鉄橋の数が
一万あるとしましょう。これでも1/2でしょうか。
さらに、今回は泥酔しすぎで鉄橋を渡っても1%の確率でしか目覚めないとしましょう。これでも1/2ですか。2%,3%ならどうでしょう。

モンティは、また後で考えますね。

TsuSUZUKITsuSUZUKI 2008/05/14 15:27 こんにちは。お世話になります。

おお、なるほど。1万個の駅!!

ここでちょっと考えてみます。

えーっと、

> いつ目覚めてもそれは1回目に目覚めたのとなんら主観的には変わらないんだもーん。

ですので、1万個の駅があっても条件は同じではないでしょうか?

#実際には、1万個も駅があれば、それ以前に目覚めたことがあると思い出しそうなんで、条件が変わって来そうな気がします。

いじょうです。

---

hoshikuzuhoshikuzu 2008/05/16 14:21 >TsuSUZUKI さん
『恐れ多くも』って、えええええええ????
『「A駅終点の列車にのっている確率は?」だと 1/2』と『「A駅を乗り過ごした確率は?」だったら 1/3 かと。』とから、『A駅手前なのだけれどB駅終点の列車にのっている確率』が求まりますね。1-1/2-1/3 = 1/6 でしょうか。多少不可思議ではあります。

>nucさん
『B駅で止まらずにロンドンまで行ってしまう列車で、鉄橋の数が一万あるとしましょう。これでも1/2でしょうか。』ニック・ボストロムならまさしくそのように言うことでしょう。

>今回は泥酔しすぎで鉄橋を渡っても1%の確率でしか目覚めないとしましょう。これでも1/2ですか。2%,3%ならどうでしょう。

三浦先生ならこの問いにどう答えるのかと興味があります。 茫漠たる知性としての「私」についての眠り姫問題思考実験が、先生の著書に書いてあるからです。

…なんとなくですが、モンティ型解釈はまずそうだという感触が当然ながらあるのですが、キッチリと簡明に説得的に言い切るための立論ができません。 お助けくださいまし。

TsuSUZUKITsuSUZUKI 2008/05/16 18:10 こんにちは。

おお、1-1/2-1/3 = 1/6、自分で言っていて不思議です。

A駅手前の「橋」で目覚め、その時A駅終点の列車に乗っている確率(当然乗り過ごさない)1/3、
A駅を乗り過ごし、B駅手前の「橋」で目覚めた(=B駅終点列車に乗っていて乗り過ごし)確率 1/3、
A駅手前の「橋」で目覚めその時B駅終点列車に乗っている確率(乗り過ごすかどうか分からないけどたぶん乗り過ごさない) 1/3 、だと考えました。橋が3つあるので。

きっと、「手前にいる(まだ乗り過ごすかどうか決定していない)」と「乗り過ごした(決定事項)」の二条件の間で、自分はどこか間違って解釈したんでしょう。(w

B駅行きの列車に乗っていて目覚めるケースが2回あると分かるのは当の列車に乗っていない人だけであって、目覚めた本人はどっちか「分からない」んでしたね。

ですから、どっちの列車に乗っているかは、駅で2本の列車のどちらかを選ぶ確率 1/2 と等しいと思いました。

今考えても堂々巡りなんで、これは人生の宿題にしておきます。(w

いじょうです。

---

nucnuc 2008/05/16 20:23 おっと、自分は1/3派です。

1%の確率でしか目覚めないので、Aはめったに目覚めないのに対して、Bはまず目覚めるであろう、と思われるので、目覚めたという事実自体が通しというかサインというかローズというかになっていると思うのですよね。
で、1%が100%になろうが何も変わらんと。

hoshikuzuhoshikuzu 2008/05/18 19:50 >TsuSUZUKI さん
人生の宿題!!!! 
もうひといきで1/3派ですね。『B駅行きの列車に乗っていて目覚めるケースが2回あると分かるのは当の列車に乗っていない人だけであって、目覚めた本人はどっちか「分からない」んでしたね。』
そうなんですよね。そこがヒッカカるわけです。でも、目覚めた本人にもわかることが。A駅どまりでは鉄橋はひとつ。B駅どまりでは鉄橋がふたつ。この知識が一人称的主観的確率判定に加味されるかどうかが1/3派になるかどうかの瀬戸際だと思うのです。
人生の宿題にはしないほうがいいかもですよ?

>nucさん
やはりローズってソッチ系の言葉でしたか。いや、最初そう思ったのですが、まさか古い戦後の鉄火場のマージャン打ちの用語がここに出てくると思いませんでした。(w

A系はキリスト教文化圏の宇宙を代表し、B系は輪廻転生を肯定するアジア系文化圏の宇宙を代表している、、などと空想すると結構…数理的な形而上学につながってくるのですよね。 1%・・・こうしたパスルに一瞬でも興味がむくかどうかの確率であったとして。 この確率の大小が、両文化圏の宇宙の存在確率に主観的に結果的に関与しているのかいないのか…

TsuSUZUKITsuSUZUKI 2008/05/18 22:36 こんばんは。

> B駅どまりでは鉄橋がふたつ。この知識が一人称的主観的確率判定に加味されるかどうか

なるほど!! 良いヒントをありがとうございます。どの条件をごっちゃに考えていたのかが、すっきりしました。

しかし、「加味されるかどうか?」に関しては議論の余地がありますね。(w 自分は、やっぱり「本人には分からない」を指示いたします。

いじょうです。

---

hoshikuzuhoshikuzu 2008/05/19 13:17 加味しませんか・・・???目を白黒。(にこり

takataka 2016/08/03 12:17 酔っぱらい鉄道は、主観外のタクシー代を払う可能性に集中するので、
いつ目覚めても唯一設定と同じ2分の1に感じられるのだと思います。

 | 
最近のコメント