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2013年7月30日(Tue)

tex2imgを使ってLaTeXで書いた数式を画像に変換

tex2imgを使ってLaTeXで書いた数式を画像に変換してみました。

まず、LaTeXのファイルを用意します(matrix.tex)。

\documentclass{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\pagestyle{empty}
\begin{document}

\section*{問題}

正方行列~$A, B$に対して関係~$A \sim B$が成り立つことを以下のように定義する。
$$
A \sim B \Longleftrightarrow \text{$P^{-1}AP = B$を満たす正則行列~$P$が存在する}
$$
このとき関係~$\sim$が同値関係であることを証明せよ。

\section*{解答}

関係~$\sim$が同値関係であることを証明するには、
反射律、対称律、推移律を満たすことを示せばよい。

関係~$\sim$が反射律を満たすこと(すなわち$A \sim A$が成り立つこと)を証明する。
正則行列~$P$として単位行列を選べば、任意の正方行列~$A$に対して、
$P^{-1}AP = A$が成り立つ。したがって、任意の正方行列~$A$に対して$A \sim A$が成り立ち、
関係~$\sim$が反射律を満たすことが証明できた。

関係~$\sim$が対称律を満たすこと(すなわち$A \sim B$ならば$B \sim A$が成り立つこと)を証明する。
$P^{-1}AP = B$が成り立つとき、右から$P^{-1}$を掛け、左から$P$を掛けることで$A = PBP^{-1}$が成り立つ。
ここで、正則行列~$P$の逆行列$P^{-1}$$Q$とおけば、$Q$も正則行列であり、$Q^{-1}BQ = A$が成り立つ。
したがって、$A \sim B$が成り立つならば$B \sim A$が成り立ち、
関係~$\sim$が対称律を満たすことが証明できた。

関係~$\sim$が推移律を満たすこと(すなわち$A \sim B$および$B \sim C$ならば$A \sim C$が成り立つこと)を証明する。
$P^{-1}AP = B$および$Q^{-1}BQ = C$が成り立つとき、$Q^{-1}P^{-1}APQ = C$が成り立つ。
ここで、$R = PQ$と置けば$R^{-1} = Q^{-1}P^{-1}$が成り立ち、$R^{-1}AR = C$がいえる。また$R$は正則行列である。
したがって、$A \sim B$および$B \sim C$ならば$A \sim C$が成り立ち、
関係~$\sim$が推移律を満たすことが証明できた。

以上より、関係~$\sim$が同値関係であることが証明できた。
\end{document}

次に、コマンドラインから以下のように入力します($はプロンプト。実際には全体を一行で)。

$ tex2img
    --kanji utf8 
    --left-margin 50
    --right-margin 50
    --top-margin 50
    --bottom-margin 50
    matrix.tex matrix.png

このようにしてできたmatrix.pngはこんな感じになります。

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