隣接4項間漸化式によって定義される数列の一般項

隣接3項間漸化式によって定義される数列の一般項を、その特性方程式の各項の係数のみを用いて表すことに成功したので、次は隣接4項間漸化式についても同じことをやってみようと試みました。
隣接4項間漸化式
$af_{n+3}+bf_{n+2}+cf_{n+1}+df_n=0$
の特性方程式
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
の3つの解を $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ とおきます。
ただし、特性方程式は重解を持たないものと仮定し、解は虚数も許します。
すると、次が成り立ちます。
$f_{n+3}-(\alpha+\beta)f_{n+2}+\alpha\beta f_{n+1} = \gamma\{f_{n+2}-(\alpha+\beta)f_{n+1}+\alpha\beta f_n\}$
したがって、等比数列の一般項を求めるのと同じ要領で、次が導かれます。
$f_{n+2}-(\alpha+\beta)f_{n+1}+\alpha\beta f_n = \gamma^{n-1}\{f_3-(\alpha+\beta)f_2+\alpha\beta f_1\}$ …(1)
同様にして、次の二つも導かれます。
$f_{n+2}-(\beta+\gamma)f_{n+1}+\beta\gamma f_n = \alpha^{n-1}\{f_3-(\beta+\gamma)f_2+\beta\gamma f_1\}$ …(2)
$f_{n+2}-(\gamma+\alpha)f_{n+1}+\gamma\alpha f_n = \beta^{n-1}\{f_3-(\gamma+\alpha)f_2+\gamma\alpha f_1\}$ …(3)
(1), (2), (3) から $f_{n+2}$ , $f_{n+1}$ を消去すると
$f_n = \frac{1}{(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)}[$
$-\{\alpha^{n-1}(\beta-\gamma)+\beta^{n-1}(\gamma-\alpha)+\gamma^{n-1}(\alpha-\beta)\}f_3$
$+\{\alpha^{n-1}(\beta+\gamma)(\beta-\gamma)+\beta^{n-1}(\gamma+\alpha)(\gamma-\alpha)+\gamma^{n-1}(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)\}f_2$
$-\{\alpha^{n-1}(\beta-\gamma)\beta\gamma+\beta^{n-1}(\gamma-\alpha)\gamma\alpha+\gamma^{n-1}(\alpha-\beta)\alpha\beta\}f_1]$
が得られます。
これが、隣接4項間漸化式によって定義される数列の一般項です。
ここまで、頑張って手計算で求めました。自分で自分を褒めたいと思います。
次なる目標は、これを基本対称式の多項式として表すこと。
でもその前に、隣接5項間漸化式についても同じ計算をして、規則性を探ってみた方がいいかも。
この問題について考えていると、当分は暇しなくて済みそうです。