2015-02-25

1976年　二次　文科　[4](旧課程問題)

東大数学

$a$ を整数とする.
整式 $f(x)=x^5-ax-1$ が整数を係数とする 2 つの(正の次数の)整式の積に表されるような $a$ を求めよ.
またそのような $a$ について $f(x)$ を上のような積に分解せよ.

2015-02-25

1976年　二次　理科　[6](旧課程問題)

東大数学

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ を実数として
$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ とおく.

(1) 方程式 $f(x)=0$ が 4 個の相異なる実数解をもつとき, 実数 $k$ に対して, 方程式 $f(x)+kf'(x)=0$ の実数解の個数を求めよ.

(2) 2 つの方程式 $f(x)=0$ , $f''(x)=0$ が 2 個の相異なる実数解を共有するとき, 曲線 $y=f(x)$ は $y$ 軸に平行なある直線に関して対象であることを示せ.

2015-02-20

1976年　二次　理科　[5](旧課程問題)

東大数学

点 P は $xy$ 平面の原点 O を時刻 $t=0$ に出発して, $x$ 軸上を正の向きに動く.
時刻 $t$ において, $x$ 軸, 曲線 $y=\frac{x^2+1}{x+1}$ , $y$ 軸, P を通って $y$ 軸に平行な直線で囲まれた図形の面積を $S$ とする.
P が点 $(x,0)$ を通過するときの $S$ の変化率 $\frac{dS}{dt}$ は $x^2+1$ に等しいという.
このとき $S$ を $t$ の式で表せ.
ただし P の座標は時刻 $t$ の微分可能な関数とする.

2015-02-20

1976年　二次　理科　[4](旧課程問題)

東大数学

$xy$ 平面上に 3 つの円 A, B, C があって, それぞれ
A: $x^2+y^2=9$
B: $(x-4)^2+(y-3)^2=4$
C: $(x-5)^2+(y+3)^2=1$
で表される.
この平面上の点 P から円 A, B, C に接線が引けるとき, P からそれらの接点までの距離をそれぞれ $\alpha(P)$ , $\beta(P)$ , $\gamma(P)$ とする.
このとき
$\alpha(P)^2+\beta(P)^2+\gamma(P)^2=99$
となる点 P の全体がつくる曲線を図示し, その長さを求めよ.

2014-11-20

約数の総積

高校数学

1970年の東大数学の問題を解いていたら, 約数の総積に関するものがありました。
総積というと明治時代の文豪の名前のようで聞きなれないようで何なのかとお思いの方もいらっしゃるかもしれませんが, 要するに全ての約数を掛け算した値のことですぷ。
ちょっと公式を作ってみたら面白かったので紹介します。
随分と久しぶりに, 問題の解説でない記事ですね。

まずは次のような例を考えてみます。
$360=2^3*3^2*5^1$
これの約数の個数はそれぞれの指数部に 1 を足したものの積で
$(3+1)(2+1)(1+1)=24$ 通り
というのは教科書にある知識で分かります。
総和については
$(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)(5^0+5^1)=990$ 通り
ですね。
じゃあ総積はどうなるか。
約数は全て $2^x*3^y*5^z$ の形をしていて, 例えば $2^x$ を固定して考えてみると, それに対して 3 と 5 の指数部の組み合わせが $(2+1)(1+1)$ 通りあるわけです。
これらを全部掛けあわせればいいわけですから, 総積を素因数分解したときに出てくる 2 の累乗は
$\left(2^0\right)^{(2+1)(1+1)}*\left(2^1\right)^{(2+1)(1+1)}*\left(2^2\right)^{(2+1)(1+1)}=\left(2^{0+1+2}\right)^{(2+1)(1+1)}$
の形になっています。
3 と 5 についても考え方は同じです。
一般に, 自然数 $n$ を素因数分解して
$n=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*\cdots*p_m^{q_m}$
の形になったとすると, 総積を素因数分解したときに出てくる $p_i$ の累乗は
$\left(p_i^{\frac{q_i(q_i+1)}{2}}\right)^{\frac{(q_1+1)(q_2+1)\cdots(q_m+1)}{q_i+1}}$
の形になっています。
$q_i+1$ は約分できますね。
したがって, $n$ の総積は
$\left\{\displaystyle \prod_{i=1}^m \left(p_i^{\frac{q_i}{2}}\right)\right}^{\left(\displaystyle \prod_{i=1}^m (q_i+1) \right)}$
$=n^{\displaystyle \frac{1}{2} \prod_{i=1}^m (q_i+1)}$
となります！
要するに, 自然数 $n$ の約数の総積は, $n$ の(約数の個数/2)乗だというわけです。
$n$ が平方数ならばこの式の値が整数になることは明らかですが, じゃあ平方数でないならばどうなるかというと, その場合は奇数の指数があるはずなので, それに 1 を足して偶数になって 2 で割り切れるからやはり整数になることが分かります。
なかなか面白いですね。

ちゃんちゃん。

2014-11-07

1966年　ニ次　文科　[5](旧課程問題)

東大数学

点 O を中心とする定円の円周上に 1 点 A を固定し, O とも A とも異なる点 P を半径 OA 上にとる。点 P を通り OA に垂直な弦の一端における円の接線が, OA の延長と交わる点を Q とする。
点 P が点 A に近づくときの $\frac{\bar{PQ}}{\bar{PA}}$ の極限を求めよ。
ただし, $\bar{PQ}$ , $\bar{PA}$ はそれぞれ線分 PQ, PA の長さである。