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2005-09-08

[][] くらし安心ラプラシアン

前野さんの日記にてラプラシアン極座標表示の計算法が。

 S¥[f¥] =¥int¥int¥int (¥nabla f)^2 dx dy dz のときに ¥delta S/ ¥delta f = -¥Delta f になるので、左辺を極座標で表す、でいいのかな。とにもかくにも、二階微分を部分積分を使って一回微分の二乗で表すと。

追記:前野さんのコメントを読んで少し計算してみました。

まずいきなり(¥nabla f)^2 = f_r^2 + f_¥theta^2 / r^2 ¥sin^2 ¥phi + f_¥phi^2 /r^2 と計算してしまう。それぞれ直交してるから長さ調節だけなので。

S=¥int¥int¥int (f_r^2 + f_¥theta^2 / r^2 ¥sin ^2¥phi + f_¥phi^2/r^2) r^2 ¥sin ¥phi dr d¥theta d¥phi

¥delta S = ¥int ¥int ¥int ¥delta f (-¥Delta f) r^2 ¥sin ¥phi dr d¥theta d¥phi

  • ¥delta S = 2¥int d¥theta¥int ¥sin ¥phi d¥phi¥int r^2 f_r ¥delta f_r dr
  • + 2¥int dr ¥int d¥phi /¥sin¥phi ¥int f_¥theta ¥delta f_¥theta d¥theta
  • + 2¥int dr ¥int d¥theta ¥int f_¥phi ¥delta f_¥phi ¥sin¥phi d¥phi
  •  ¥int r^2 f_r ¥delta f_r dr = -¥int (2r f_r +r^2 f_{rr})  ¥delta f dr
  •  ¥int f_¥theta ¥delta f_¥theta d¥theta = -¥int f_{¥theta¥theta} ¥delta f d¥theta
  •  ¥int ¥sin¥phi f_¥phi ¥delta f_¥phi d¥phi=-¥int (¥cos¥phi f_¥phi + ¥sin¥phi f_{¥phi ¥phi}) ¥delta f d¥phi

なんか MimeTeX の表示がいまいちなんで、あとは省略

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