■[理系ネタ][J] 測地線メモ

以前イーガンの『ディアスポラ』に出てきたドーナツ上の測地線の話を検証するため自分で計算したが、変分原理でもっと簡単に出来ると考えて計算したメモ。

多様体上の最短経路を変分原理で求める。 から多様体への写像M(x)があり、多様体上での速度がでの速度の二次形式としてと書けるとする。実際には。たとえば球面だと。トーラスだと

時刻０に出発点を出て時刻Tに目標につく場合の経路の長さは

経路を微小量変化させた時にLの増分がの一次の範囲で変化しないのが最短経路。Vのある時刻における増分は

と置き、またなので

これを時間積分し

第一項をの式からの式に変えるために部分積分?すると

　...(1)

(1)の第一項は両端での座標を固定していれば消える。第二項の被積分関数のの係数は

の係数を整理し、

これがすべての時間とνで０となるのが距離極小つまり測地線の条件。

これにを代入

　　...（２）

ここで

は同じ経路で加速・減速する自由度に対応しているので、速度一定の解の時は０。すると（２）は

。 　　...（３）

これが最終的な方程式。おお、シンプルだ。実際このときとなる。

相対論に出てくる式とも似てるな http://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic

平らな空間でAが単位行列だとBは全部０、このとき速度は変化なし、つまり直線となる。ふむ。

球面だと,,、それ以外全部０で、方程式は

うほ、どなたかうち経由でアマゾンで１万円の解析力学の本買われた方が。ISBN:0198508026

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