a million dead-end streets

2007-04-24 Clean Intersection Theorem

[]

C-多様体Vにはめ込まれた部分多様体X, Yがintersect cleanlyとは、 X∩Yの各連結成分ZがVのはめ込まれた部分多様体になっており、さらに

TZ = TX|Z ∩ TY|Z

となっていること。

以下、dim X + dim Y = dim Vかつ、X∩Yがただ一つの連結成分Zからなっているものとする(s=dim Z≥1)。

x∈Zに対してTxVの中でTxXとTxYが張る空間をx∈Z上のファイバーとするZ上のバンドルを、TX|Z + TY|Zと書くことにする:

0 → TZ → TX|Z ⊕ TY|Z → TX|Z + TY|Z → 0.

このとき

0 → TX|Z + TY|Z → TV|Z → η → 0

で定義されるZ上のs次元ベクトルバンドルηを交叉Zのexcess bundleという。

Clean Intersection Theoremの簡単な場合.

上の状況で

(XとYの交叉数) = (ηのEuler類)[Z]

である。

Rohlfs-Schwermer: Intersection numbers of special cycles. J. Amer. Math. Soc. 6 (1993), no. 3, 755--778.

Ronga: On multiple points of smooth immersions. Comment. Math. Helv. 55 (1980), no. 4, 521--527.