第2kame日記

2017-04-02

[]do.call

関数の引数をlistにして渡したいときに使う。

f <- function(a, b, c) {
  100*a + 10*b +c
}

l <- list(a=1,b=2,c=3)
do.call(f, l)

実行結果は以下の通り。

[1] 123

2016-02-18

[]関東地方の新保広大寺系譜の民謡

北関東で主に盆踊りや祭りなどで踊られるときに演奏されるもの

黛音頭

伝承記録日演奏会場
埼玉県児玉郡上里町黛平成1.10.15ふるさと芸能まつり

https://www.youtube.com/watch?v=SkhpAz05wAs

中条節樽踊り

伝承地記録日演奏会場
埼玉県熊谷市上中条平成11.9.15中条地区敬老会

https://www.youtube.com/watch?v=oub3sKqwLtc

投げ節(村名づくし)

伝承地記録日演奏会場
群馬県邑楽郡明和町矢島平成11.8.1明和町文化祭

https://www.youtube.com/watch?v=7KEHg90_6FM

旗井盆唄

伝承地記録日演奏会場
埼玉県加須市旗井平成10.8.14旗井地区盆踊り会場

https://www.youtube.com/watch?v=iEblfgZZDcc

栗橋音頭

伝承地記録日演奏会場
埼玉県久喜市旧栗橋町地区昭和47年レコード

https://www.youtube.com/watch?v=NNRi_vrZI8g

富田節

伝承地記録日演奏会場
栃木県栃木市大平町富田平成10.10.25大平町文化祭

https://www.youtube.com/watch?v=mxNVQFUm-Eo

二段落とし(上州自慢、鈴木主水)

伝承地記録日演奏会場
高崎市並榎町平成10.10.4第4回高崎伝統民俗芸能まつり

https://www.youtube.com/watch?v=jZXIxkN1190

笠ぬき踊り

伝承地記録日演奏会場
茨城県筑西市下館平成25.8.16下館盆踊り大会

https://www.youtube.com/watch?v=alkmGLOllYY

2012-04-24

[]リーマンの関係式(2)

リーマンの関係式(ii)

 H = ¥sqrt{-1} ^t¥Omega J ¥bar{¥Omega}とおくと、 Hはエルミート行列で、

 H = ¥sqrt{-1} ^t¥Omega J ¥bar{¥Omega} > 0 (正定値)

エルミート行列Hが正定値であることを示すには、

 ¥forall c = (c_1,¥cdots,c_g) ¥in ¥mathcal{C}^gに対して

 c^{*}Hc = {}^t¥bar{c}Hc > 0

を示せばよい。

 ¥displaystyle ¥begin{eqnarray} H &=& ¥sqrt{-1} ^t¥Omega J ¥bar{¥Omega} ¥¥ &=& ¥sqrt{-1}  ¥begin{pmatrix} {}^t A & {}^t  B ¥end{pmatrix} ¥begin{pmatrix} O & I_g ¥¥ -I_g & O ¥end{pmatrix} ¥begin{pmatrix} ¥bar{A} ¥¥ ¥bar{B} ¥end{pmatrix} ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥begin{pmatrix} {}^t A & {}^t  B ¥end{pmatrix} ¥begin{pmatrix} ¥bar{B} ¥¥ -¥bar{A} ¥end{pmatrix} ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥begin{pmatrix} {}^t A¥bar{B} - & {}^t B¥bar{A} ¥end{pmatrix} ¥end{eqnarray}


したがって  Hi,j成分を H_{ij}と表すことにすれば、

 ¥displaystyle ¥begin{eqnarray} H_{ij} &=& ¥sqrt{-1} ¥({}^t A ¥bar{B} -  {}^t B¥bar{A}¥)_{ij} ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥sum_{k=1}^{g} ¥( ({}^t A)_{ik} (¥bar{B})_{kj} - ({}^t B)_{ik} (¥bar{A})_{kj} ¥) ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥sum_{k=1}^{g} ¥( a_{ki} ¥bar{b_{kj}} - b_{ki} ¥bar{a_{kj}} ¥) ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥sum_{k=1}^{g} ¥(  ¥int_{¥alpha_k} ¥omega_i ¥int_{¥beta_k} ¥bar{¥omega_j} - ¥int_{¥beta_k} ¥omega_i ¥int_{¥alpha_k} ¥bar{¥omega_j} ¥) ¥end{eqnarray}

となる。

よって

 ¥omega = ¥sum_{i=1}^{g} ¥bar{c_i} ¥omega_iとおけば、

 ¥displaystyle ¥begin{eqnarray} c^{*}Hc &=& {}^t¥bar{c}Hc ¥¥ &=& ¥sum_{i=1}^{g} ¥sum_{j=1}^{g} ¥bar{c_i} H_{ij} c_j ¥¥ &=& ¥sum_{i=1}^{g} ¥sum_{j=1}^{g} ¥bar{c_i} ¥(¥sqrt{-1} ¥sum_{k=1}^{g} ¥(  ¥int_{¥alpha_k} ¥omega_i ¥int_{¥beta_k} ¥bar{¥omega_j} - ¥int_{¥beta_k} ¥omega_i ¥int_{¥alpha_k} ¥bar{¥omega_j} ¥) ¥) c_j ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥sum_{i=1}^{g} ¥sum_{j=1}^{g} ¥bar{c_i} ¥(¥sum_{k=1}^{g} ¥(  ¥int_{¥alpha_k} ¥omega_i ¥int_{¥beta_k} ¥bar{¥omega_j} - ¥int_{¥beta_k} ¥omega_i ¥int_{¥alpha_k} ¥bar{¥omega_j} ¥) ¥) c_j ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥sum_{i=1}^{g} ¥sum_{j=1}^{g} ¥sum_{k=1}^{g} ¥(  ¥int_{¥alpha_k} ¥bar{c_i} ¥omega_i ¥int_{¥beta_k} c_j ¥bar{¥omega_j} - ¥int_{¥beta_k} ¥bar{c_i} ¥omega_i ¥int_{¥alpha_k} c_j ¥bar{¥omega_j} ¥) ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥sum_{k=1}^{g} ¥(  ¥int_{¥alpha_k} ¥sum_{i=1}^{g} ¥bar{c_i} ¥omega_i ¥int_{¥beta_k} ¥sum_{j=1}^{g} c_j ¥bar{¥omega_j} - ¥int_{¥beta_k} ¥sum_{i=1}^{g} ¥bar{c_i} ¥omega_i ¥int_{¥alpha_k} ¥sum_{j=1}^{g} c_j ¥bar{¥omega_j} ¥) ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥sum_{k=1}^{g} ¥(  ¥int_{¥alpha_k} ¥sum_{i=1}^{g} ¥bar{c_i} ¥omega_i ¥int_{¥beta_k} ¥bar{¥sum_{j=1}^{g} ¥bar{c_j} ¥omega_j} - ¥int_{¥beta_k} ¥sum_{i=1}^{g} ¥bar{c_i} ¥omega_i ¥int_{¥alpha_k} ¥bar{ ¥sum_{j=1}^{g} ¥bar{c_j} ¥omega_j } ¥) ¥¥ &=& ¥sqrt{-1} ¥sum_{k=1}^{g} ¥(  ¥int_{¥alpha_k} ¥omega ¥int_{¥beta_k} ¥bar{¥omega} - ¥int_{¥beta_k} ¥omega ¥int_{¥alpha_k} ¥bar{ ¥omega } ¥) ¥end{eqnarray}

となる。

つづく

2012-04-23

[]リーマンの関係式

Rを種数gのコンパクトリーマン面とする。

 ¥alpha_1,¥cdots,¥alpha_g, ¥beta_1,¥cdots,¥beta_g をRの標準ホモロジー基底、

 ¥omega_1,¥cdots,¥omega_g をR上の一次独立な正則微分の組とする。

 A = ¥begin{pmatrix} ¥int_{¥alpha_1}¥omega_1 & ¥cdots & ¥int_{¥alpha_1}¥omega_g ¥¥ ¥vdots & & ¥vdots ¥¥  ¥int_{¥alpha_g}¥omega_1 & ¥cdots & ¥int_{¥alpha_g}¥omega_g ¥end{pmatrix}

 B = ¥begin{pmatrix} ¥int_{¥beta_1}¥omega_1 & ¥cdots & ¥int_{¥beta_1}¥omega_g ¥¥ ¥vdots & & ¥vdots ¥¥  ¥int_{¥beta_g}¥omega_1 & ¥cdots & ¥int_{¥beta_g}¥omega_g ¥end{pmatrix}

 ¥Omega = ¥begin{pmatrix} A ¥¥ B ¥end{pmatrix}

とおく。 ¥Omegaを周期行列と呼ぶ。

 J = ¥begin{pmatrix} O & I_g ¥¥ -I_g & O ¥end{pmatrix}

とおく。


リーマンの関係式(i)

 {}^t¥Omega J ¥Omega = 0

リーマンの関係式(ii)

 H = ¥sqrt{-1} ^t¥Omega J ¥bar{¥Omega}とおくと、 Hはエルミート行列で、

 H > 0 (正定値)

この証明に手間取ったので、証明のポイントをメモしておく。


Hがエルミート行列であることは簡単に示せるが、問題はHが正定値であること。

 ¥forall c = (c_1,¥cdots,c_g) ¥in ¥mathcal{C}^gに対して

 c^{*}Hc = {}^t¥bar{c}Hc > 0

を示せばよい。

(つづく)

2012-03-30

[]Abelの定理(2)

一昨日の続き。

 S(z) = ¥Phi + i ¥Psi = i ¥log¥(¥frac{z - ¥beta}{1 - ¥bar{¥beta} z} /¥frac{z - ¥alpha}{1 - ¥bar{¥alpha} z} ¥)


命題2

 ¥partial ¥bar{U_0}上では ¥Psi = ¥mathrm{Im}S(z) = 0

命題2は容易に示せる。

命題2が成立すると、ディリクレの原理が使えて、 d¥Phiと同じ特異性を持つコンパクトリーマン面R上の調和1形式 ¥varphiが存在することがわかる。

小平「複素解析III」の第6章定理6.19によれば、 ¥varphi + i ¥ast¥varphi dS(z)と同じ特異性を持つ  R上の Abel微分となる。そこで  dS(z) の極を調べてみる。

 fU_0上の有理型関数とすると  d¥log(f) = ¥frac{df}{f}だからfの零点と、dfの極が d¥log(f)の極となる。

 f(z) = ¥frac{z - ¥beta}{1 - ¥bar{¥beta} z} /¥frac{z - ¥alpha}{1 - ¥bar{¥alpha} z}

とおくと

 f(z) = ¥frac{z - ¥beta}{1 - ¥bar{¥beta} z} /¥frac{z - ¥alpha}{1 - ¥bar{¥alpha} z} =  ¥frac{(z - ¥beta)(1 - ¥bar{¥alpha} z)}{(z - ¥alpha) (1 - ¥bar{¥beta} z) }

なのでU_0上の関数f¥alphaを1位の零点として持ち、¥betaを1位の極として持つ。それ以外の点では正則。

¥alphafの1位の零点なので ¥alpha = z(P)の近傍では

 f(z) = (z-¥alpha)g(z), g(¥alpha) ¥neq 0 (gは正則])

と表せる。

 ¥frac{df}{dz} = g(z)+g’(z)(z-¥alpha)

ゆえ¥alphaの近傍で

 ¥frac{df}{f} = ¥{ ¥frac{g(z)+g’(z)(z-¥alpha)}{ (z-¥alpha)g(z)} ¥}dz = ¥{ ¥frac{1}{z-¥alpha} + ¥frac{g’(z)}{g(z)} ¥}dz

また¥betafの1位の極ゆえ¥betaの近傍で、

 f(z) = ¥frac{1}{z-¥beta}h(z), h(¥beta) ¥neq 0 (hは正則])

と表せる。

したがって¥betaの近傍で

 ¥frac{df}{f} = ¥{ ¥frac{ ¥frac{h’(z)}{z - ¥beta} - ¥frac{h(z)}{(z - ¥beta)^2} }{ h(z) / (z-¥beta) } ¥}dz = ¥{ ¥frac{-1}{z - ¥beta} + ¥frac{h’(z)}{h(z)} ¥}dz

以上から df/f¥alpha=z(P)を1位の極として持ち、その留数は1、¥beta=z(Q)を1位の極として持ち、その留数は-1である。

よって

 d¥log(f) = ¥frac{df}{f} = ¥frac{-dz}{z - ¥alpha} + ¥frac{dz}{z - ¥beta} + (hol.1-form)

と表せる。

 dS = i d¥log(f) ゆえ

 -i dS = d¥log(f) = ¥frac{-dz}{z - ¥alpha} + ¥frac{dz}{z - ¥beta} + (hol.1-form)

そこで

 ¥omega_{PQ} = -i(¥varphi + i ¥ast ¥varphi)

とおけば、 ¥omega_{PQ}が以下の性質を持つ第3種Abel微分となる:

 R上の任意の2点P,Qに対して、 RP,Qを除いて正則で、P,Qにおいて1位の極を持つ第3種Abel微分が存在する。

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