第2kame日記

2007-04-23

[]因子、層の短完全系列

インフルエンザでダウンしてからしばらくお休みしていたがやっと復活。この間、p121§5.5まで読了した。

位相空間X上の層と準同型の系列

 ¥displaystyle ¥cal{F} ¥longrightarrow^{¥alpha} ¥cal{G} ¥longrightarrow^{¥beta} ¥cal{H} ¥longrightarrow ¥cdots (列1)

があったとき、任意の P ¥in Xに関して

 ¥displaystyle ¥cal{F}_P ¥longrightarrow^{¥alpha_P} ¥cal{G}_P ¥longrightarrow^{¥beta_P} ¥cal{H}_P  ¥longrightarrow ¥cdots

が完全列となるとき、上の(列1)を層の完全系列という。

 ¥displaystyle 0 ¥longrightarrow ¥cal{F} ¥longrightarrow^{¥alpha} ¥cal{G} ¥longrightarrow^{¥beta} ¥cal{H} ¥longrightarrow 0

の形の系列を、層の短完全系列という。


 Xリーマン面とするとき、次のような層の短完全系列ができる。

 ¥displaystyle 0 ¥longrightarrow ¥cal{O}_X ¥longrightarrow^{¥imath} ¥cal{O}_X(P) ¥longrightarrow^{r} ¥mathbb{C}_P ¥longrightarrow 0

 ¥displaystyle 0 ¥longrightarrow ¥cal{O}_X(-P) ¥longrightarrow^{¥imath} ¥cal{O}_X ¥longrightarrow^{r} ¥mathbb{C}_P ¥longrightarrow 0

ここで ¥cal{O}_X(P)は因子 Pに付随する層。つまり¥cal{O}_X(P)(U)の元は、点Pで高々1位の極として持つ有理型関数となる。点Pの近傍で z(P)=0となる局所座標近傍 ¥(z,U¥)を取ると、点Pで高々1位の極を持つ関数 fはPの近傍で

 ¥displaystyle f(z)=c_{-1}¥frac{1}{z} + c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + ¥cdots

ローラン展開される。そこで c_{-1}を利用して、

 ¥displaystyle r(f) := c_{-1}

と定義してやると、

 ¥displaystyle r: ¥cal{O}_X(P)_P ¥to ¥mathbb{C}_P ¥(= ¥mathbb{C}¥)

が定義できて、うまく完全系列になってくれるようだ。すなわちr(f)=0 ということは c_{-1}=0ということで、それはfがPの近傍で正則であるというこであるから、 ker (r_P) = Im (¥imath_P)である。

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