Weierstrassのζ関数 - 第2kame日記

2009-02-16

Weierstrassの $￥zeta$ 関数は

$￥displaystyle ￥zeta(u):= ￥frac{1}{u} + {￥sum}’￥(￥frac{1}{u-￥omega}+￥frac{1}{￥omega}+￥frac{u}{￥omega^2}￥)$

と定義され、

$￥displaystyle ￥zeta’(u) = -￥wp(u)$

を満たしていた。

この関数の擬周期性

$￥displaystyle ￥zeta(u+m￥omega_1+￥omega_2) = ￥zeta(u)+m￥eta_1+n￥eta_2$

が示された。

さらに周期平行四辺形の周上で $￥zeta(u)$ を一周積分することにより、Legendreの関係式

$￥displaystyle 2￥pi￥sqrt{-1} = ￥eta_1￥omega_2 + ￥eta_2￥omega_1$

が示された。

以上で§2.6読了。

任意の楕円関数 $￥varphi(u)$ は、 $￥zeta$ 関数を用いて以下のように表示できる：

$￥displaystyle ￥varphi(u) = c_0 + ￥sum_{i=1}^{r}c_i￥zeta(u-a_i)$

ただし周期平行四辺形上の $￥varphi(u)$ の極を $a_1,￥cdots,a_r$ 、それぞれの極での留数を $c_1,￥cdots,c_r$ とする。

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