Abelの定理(2) - 第2kame日記

一昨日の続き。
$S(z) = \Phi + i \Psi = i \log$\frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} /\frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z} $$

命題2

$\partial \bar{U_0}$ 上では $\Psi = \mathrm{Im}S(z) = 0$

命題2は容易に示せる。
命題2が成立すると、ディリクレの原理が使えて、 $d\Phi$ と同じ特異性を持つコンパクトリーマン面 $R$ 上の調和1形式 $\varphi$ が存在することがわかる。

小平「複素解析III」の第6章定理6.19によれば、 $\varphi + i \ast\varphi$ は $dS(z)$ と同じ特異性を持つ $R$ 上の Abel微分となる。そこで $dS(z)$ の極を調べてみる。

$f$ を $U_0$ 上の有理型関数とすると $d\log(f) = \frac{df}{f}$ だから $f$ の零点と、 $df$ の極が $d\log(f)$ の極となる。
$f(z) = \frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} /\frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z}$
とおくと
$f(z) = \frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} /\frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z} = \frac{(z - \beta)(1 - \bar{\alpha} z)}{(z - \alpha) (1 - \bar{\beta} z) }$
なので $U_0$ 上の関数 $f$ は $\alpha$ を1位の零点として持ち、 $\beta$ を1位の極として持つ。それ以外の点では正則。
$\alpha$ は $f$ の1位の零点なので $\alpha = z(P)$ の近傍では
$f(z) = (z-\alpha)g(z), g(\alpha) \neq 0$ ( $g$ は正則])
と表せる。
$\frac{df}{dz} = g(z)+g'(z)(z-\alpha)$
ゆえ $\alpha$ の近傍で
$\frac{df}{f} = \{ \frac{g(z)+g'(z)(z-\alpha)}{ (z-\alpha)g(z)} \}dz = \{ \frac{1}{z-\alpha} + \frac{g'(z)}{g(z)} \}dz$
また $\beta$ は $f$ の1位の極ゆえ $\beta$ の近傍で、
$f(z) = \frac{1}{z-\beta}h(z), h(\beta) \neq 0$ ( $h$ は正則])
と表せる。
したがって $\beta$ の近傍で
$\frac{df}{f} = \{ \frac{ \frac{h'(z)}{z - \beta} - \frac{h(z)}{(z - \beta)^2} }{ h(z) / (z-\beta) } \}dz = \{ \frac{-1}{z - \beta} + \frac{h'(z)}{h(z)} \}dz$