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紙屋研究所


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2014-05-31 偶数と偶数の和は偶数であることの説明

偶数と偶数の和は偶数であることの説明


 ああ、だれか教えてほしい。コメント欄かツイッターで返信を。

 いまぼくは、無料塾で中学2年の数学を教えている。

 無料塾というのは、カネをとらずに小中高の生徒が集まり(うちは小中しかいないが)、講師もボランティアで教えるというもの。教育を貧困克服の一つの回路と考えて、その支援に力を入れている。

 ぼくが参加しているのは、基本は小中学校生の「宿題をやる会」みたいな感じで、そこでごく数名が講師にわからない点を聞いているみたいな風景。


 ぼくは大卒だけど、家庭教師の経験がない。

 だから、教え方に関してはド素人である。

 いや、「教え方のド素人」というのは、冷や汗が出るよな、とつくづく思った。


 今日苦戦したのは、こういう問題だった。

 その子は次の問題を「わからない」と言ってきた。

(問題)

正さんは「偶数偶数の和は偶数である」ことを説明しようとして、次のように説明した。

・mは整数である。

・ゆえに2mは偶数である。

・2m+2m=4m=2(2m)

・よって偶数偶数の和は偶数である。


この説明に対して、進さんは「偶数偶数の和は偶数である」として「2m+2mを用いるのは間違いだ」とした。進さんの説明が正しいのか、間違っているのかを説明しなさい。


 もちろん、偶数偶数の和を「2m+2m」で説明してはいけない、というのはわかる。それをどう説明するのか、ということなのだ。


 最初にぼくが説明したのは、


2m+2mだと1通りのケースしか説明できないよね。だって2mと2mは同じ数だからね。これに一般性、どんな偶数を足すときでも通用するようにするには、2m+2nにすればいいよね。

というものだった。

 しかし、その中学生はきょとんとしていた。「よくわからないですか?」と聞いたら、しばらく考えて「はい」と答えた。わからないのである。

 「ぼくの言っていることはわかる? でも説明がわからないっていうこと?」「それとも何を言っているのかちんぷんかんぷんですか?」と聞くと、前者だと答えた。

 そこで他の問題を解かせている最中に別の説明をぼくは考えた。その結果考えられたのは次のような説明だった。


  • 偶数偶数の和がいついかなるときも偶数であることを示すためには、2m+2mは…
  • 同じ偶数を足したときのことしか説明できないよね?
  • 2つの違う(異なる)偶数を足すときにはどう表したらいいだろうか?
  • そう、2m+2nにすればいいよね。
  • m=nにすれば同じ偶数でも想定できる。

 しかし、この説明にもその子は「……」という感じだった。

 教える側は厳しいな、と思った。

 まず、この子が何でつまずいているのか、そこを探らねばならない。その子の気持ちになってつまずきを探り出し、そのつまずきの姿の応じて光を指し示さねばならない。ぼくは、この子のつまずき方が理解できない。

 次に、どうにかこうにかやってみた説明が2通りしかできない人間は、もう持ち駒がなくなる。その子のつまずきにどうアプローチしていいのか、もはやわからなくなるのだ。

 「ごめん、次に説明する」。

 こう言って次の問題を解かせた。


 いまぼくがぼんやりと思っていること。

 この子は、「偶数を2mで表す」ということ自体にほとんど馴れていないのではないか。だとすれば違った偶数を2n、果てまたは任意のn(整数)で表すことなど、たいそう難しかろう、ということだ。


 説明している最中に思ったのは、この子はそもそも「正さん」の説明に納得してしまっている。それがなぜ間違いなのかわからない。2mは偶数ではないか。偶数の和であれば2mと2mを足してなぜ悪いのか。

 2mと2mは同じ数字になるじゃん。

 ということまではかろうじてわかったとしても、2m+2nになるのが解せない、というのではないか、nってなんだよ。任意の整数だというけど、mだって任意の整数だろ、という意識。


 というわけで、何がわからんのか、わからん!


 この問題の教え方でもいいし、あるいはこの問題を離れて何かをくり返し学んだ方がよい、という方も大歓迎。教えてくれ! コメント欄、もしくはツイッターで。



 ぼくは中学までの数学というのは、積み重ねだと思っている。

 わからなくなっているとすれば、そのわからなくなっている部分を見つけて、わからなくなっている部分まで戻って、積み直せばよい。そうすることで、大半の生徒は平均的な理解に達することができる──これがぼくの信念である。


 しかし現状は悲惨だ。

 大方の生徒は、自分がどこでつまずいているかもわからずに、次々と新しい課題や理解要求が積み増しされていく。途方に暮れる。自分がどこにつまずいているのか言えなければ教師のアドバイスは的確なものにはならない。失跡と屈辱だけが積み重なる。授業時間は苦行でしなく、面白いわけがない。

 ていねいにこの混迷をほどく作業を誰もしないのである。そのわからない苦痛地獄を過ごす時間の想像。何という恐ろしい時間が積み重ねられていることだろうか。

みしょみしょ 2014/05/31 02:46 「問題」がおかしいような気がします。進さんがまったくトンチンカンな批判をしているので,進さんのコメントを叩き台にして考え始めた生徒は混乱すること必至でしょう。
正さんの説明は,2m という「とある偶数」について,その「とある偶数」を2倍したものが偶数である,ということを示したものです。解くべきは「どんな偶数をふたつもってきても」その和が偶数になる,という問題です。
ふたつめの 2m を 2n にしても,2m という「とある偶数」と 2n という「1つめのやつとはもしかしたら違うかもしれないけど同じかもしれない偶数」を足したら偶数になりました,というだけで,都合の良い 2m と 2n をとってきたんじゃないか,ということになる。

みしょみしょ 2014/05/31 02:56 「問題」への回答としては,【進さんの指摘は不十分である。なぜなら,正さんの説明の最大の問題点である,どんな偶数のペアに対しても成り立つと主張しようとしているのに 2m という特定の偶数を持ち出して話をしている,ということ触れていないから。】といったところでしょうか。
もともとの命題が正しいことを説明する具体例は,以下のようなものです。(特に2行目に注意!)

みしょみしょ 2014/05/31 02:56 どんな偶数と偶数のペアに対しても,その和が偶数になることを示す。
そのペアを (x, y) とする。x も y も偶数であるので,整数 n と m を用いて x=2n, y=2m と表せる。(正確に書けば,「x も y も偶数であるので,x=2n, y=2m を満たすような整数のペア n, m が必ず存在する。」)
x と y の和は x+y = 2(n+m) である。n+m は整数であるので,2(n+m) は偶数である。従って x+y は偶数である。
よって任意の偶数 2 つの和は必ず偶数になる。

みしょみしょ 2014/05/31 03:07 中学・高校の数学は実質的には暗記科目ですので,こういう記述式の試験でなければ「偶数が出てきたら 2n と置けば良い,2つ出てきたら 2m と 2n に変えればいい」みたいな丸暗記でも良いでしょうし,実際,出題者もその程度のことしか要求していないからこういう変な問題になるのでしょう。
大体の試験では「偶数を2n, 2m と置く」と書けばマルが貰えるのですが,そこに甘んじずに「x も y も偶数であるので,x=2n, y=2m を満たすような整数のペア n, m が必ず存在する。」という,背後にある論理を理解しているか。。。
実際問題として,そこまで丁寧にやるのは無理だからみんな丸暗記ですませるんですけどね。

まりもまりも 2014/05/31 04:38 塾講師している大学院生です。まさに仰られているとおり、偶数を2mとすることにほとんどの生徒は慣れていないと私も常に感じています。
私ならば、まず2mや2m+1がどういう数字であるのか具体的に数字を入れて説明します(m=3を入れたらこっちは絶対偶数になるし、こっちは奇数だね、じゃあ、、、)と数個の具体例を書いてやることでイメージを作るのです。
その上で、2m+2mの間違いを同様にmに数字を入れてやって説明します(m=5を入れると左側の項は10になるね、うん偶数だ、あれ?右側も10?これだと偶数+偶数って言ってもいつもおんなじ数しか入れちゃいけないことになるよね。)等

とにかく具体的な数字やグラフに落として、イメージを作り上げることが理解の手助けになるかなと思っています。

YheiYhei 2014/05/31 05:05 生徒さんの言うことも間違いではないと思いますが
2m+2mだと2がカバーできないとおもいます
この理論でいけば例えば6も出来ません
カバー出来ない数字が存在するということは、設定が間違えてる(ひとまず)

で、それをカバーして成り立つ式は2m+2nである

ひとまずこんな感じはどうですか??

tozimatozima 2014/05/31 05:33 整数や偶数が無限個あることが理解を困難にしていると思うので、有限の場合を確かめれば十分な類題から入ってはいかがでしょうか。

例えば「10以下の偶数と10以下の偶数の和は偶数である」の説明を考えます。「10以下の偶数」は5つですから、この事実の説明には「25通り」の和を計算すればよく、5×5の表を使って確かめることができます。(確かめるべきなのが25通りだと分かるかは、ひとつの関門だと思います。)

この表をひとつひとつ埋めていくのは面倒なので、文字を使ってまとめて計算することを考えます。「10以下の偶数」は「2m(ただし m は5以下の整数)」と表すことができます。この場合、「m」が出てくる式は、本当は5つの式を同時に扱っていることになります。(ここが最も難しいのではないかと思います。)例えば「2m + 2m」という表現は「2*1 + 2*1(m=1 のとき)」「2*2 + 2*2(m=2 のとき)」……「2*5 + 2*5(m=5 のとき)」の5つの式を同時に扱っていることになります。よって、確かめるべき25通りのうち、「2m + 2m」が表現しているのは対角線の5通りだけです。残りの20通りは確かめていないので、「2m+2m」の計算だけでは不十分です。

元々の問題は、埋めるべき表が縦にも横にも無限の大きさを持っています。表の大きさが無限であるため表を埋めることは不可能で、文字式を使って説明することが必須となります。しかしながら「2m+2m」ではいけない理由は表の大きさが無限であることとは独立で、上のように有限の大きさの表を使って説明できます。

どぐーどぐー 2014/05/31 05:38 なんで「n」なのか、「m」なのか。整数ってどういうことか。みたいなところがテストでは解けるけど、なんかよくその意味がわかってないみたいなのが原因なのかなとか思ったり。そうなる必然性というか、理由、ストーリーみたいなところを知れば、
2mと2nに分ける意味も理解しやすいんじゃないかなあ。

というのも、なんとなく聞いてると、この問題がわかんないっていうか、この問題で使ってるもの(mとか、整数とか、どんな組み合わせでも〜みたいな文面とか)に対して理解がゆるくて、それが自分でもわかるから納得しきれず引っかかってるって感じなのかなと。

だったらこの問題だけにとらわれず、一個ずつ既習範囲をさかのぼらせてあげたほうがいいかもなんて思ってコメントしました。

dankogaidankogai 2014/05/31 06:09 図がいいと思う。
* 偶数というのは、二で割れる数。
* だから必ず二列に並べられる。
* 並べるとこんな感じ
□□□□△△△
□□□□△△△
* どんな偶数でも、こう並べれば必ずぼっちなしで二列になる。
* つまり、偶数+偶数は、必ず偶数

kamiyakenkyujokamiyakenkyujo 2014/05/31 07:37 ふーむ。
みなさんいろいろご指摘ありがとうございます。
ツイッターやブコメも見てます。
生徒を思い浮かべながら
どういう説明がいいか考えていますので
引き続きお願いします

通りすがり通りすがり 2014/05/31 07:57 ド定番の問題です。
塾講師やら、家庭教師やってると、
教え方に一度は悩む問題です。
この程度のものを準備もなしに授業し、
教えられないなら無料塾など辞めるべきです。
厳しい言い方ですが、無料だから準備なしてOK、
講師の力量が低くてOKではダメでしょう。
「ボランティアだから仕方ない」という意識の
学生を増やして欲しくないとも思います。
準備もロクにしない講師を見て育つ子どもは、
大きなものを喪っていると思いますよ。

こんにちはこんにちは 2014/05/31 08:05 レベル1。整数を示すのは,n。
レベル2。2の倍数は2n,3の倍数は3n,4の倍数は・・・。
レベル3。偶数は2nで,奇数は2n+1。
レベル4。3で割ると1余る数が3n+1,5で割ると2余る数が5n+2,などなど。
レベル5。整数の和は,n+m。
レベル6。2の倍数と3の倍数の和は2n+3m,では3の倍数と5の倍数の和は・・・。
レベル7。偶数と偶数の和は2n+2m,偶数と奇数の和は2n+2m+1,奇数同士の和は・・・。
レベル8。2n+2mが偶数か否か。
レベル一つごとに,反復練習で叩き込む。

yshlyshl 2014/05/31 08:14 自分だったら以下のような説明をしてみます。
・偶数と偶数の和を 2m+2m と書くと、4の倍数になることも証明できてしまうよね。
・でも、2+4=6 で 4の倍数にはならないよね。
・2+4 を 2m+2m に当てはめようとすると、m は 1 なのか 2 なのかわからなくなって、困るよね。
・つまり、2m+2m は「偶数と(それと同じ)偶数」の場合はいいけど、「偶数と(それとは別の)偶数」を考えたい場合には使えないよね。

あ 2014/05/31 08:16 全てを説明できていないので正しいとは言えない、というところでしょうか。
一部分を説明するものとしては、間違ってるわけではないから納得がいかないんだと思いますよ。

2m+2mに実際にm=1,2,3…と代入させてみて、
例えば2+4はこれじゃ表現できないよねって、具体例挙げながら示してあげれば良いと思います。

一般化が腑に落ちてない人に、一般化のまま話を進めると訳がわからなく。

totoronokitotoronoki 2014/05/31 08:35 同じ整数同士の和は偶数、っていう証明を前にやってるんじゃないのかな?
それを理解していれば「同じ整数同士の和」以外のパターンを示さないといけないのが何と無くわかると思うんだけど
つまり、変数が二つ以上ある式を作らないと「同じ整数同士の和」以外のパターンを示すことはできない

hathat 2014/05/31 08:35 因数分解はまだ使えないんでしたっけ?

元数学科元数学科 2014/05/31 09:07 とんちんかんなレスが多くてワロタw
最初の「偶数」とあとの「偶数」は言葉は同じでも数が違う場合があるから2m,2nとしなきゃだめでしょ、ってことでしょ

homararahomarara 2014/05/31 09:12 その生徒さんは、そもそも代数や方程式を理解しているのでしょうか?
前提として、2m + 2n = 2(m + n)が理解できなければ、設問を理解できないと思いますが、それを理解するのは、代数や方程式、式の整理といった前提の知識が必要となります。
設問を理解できなければ、答えを理解するのは不可能でしょう。
一案として、「正さん」が何を言ってるのかを、その生徒さんに説明してもらって、設問への理解度から聞き取りしてみるのはどうでしょうか?

というか、確かに問題がおかしいです。正さんは確かに間違ってますが、
進さんは何も説明してないのに、説明が正しいか間違ってるかと聞かれたら、私でも困る。

むむむむむむ 2014/05/31 09:20 問題が変過ぎるので、その問題集を破り捨てるのが正解だと思います。

david3rddavid3rd 2014/05/31 09:23 「2=2☓1、4=2☓2、6=2☓3、…… というように、偶数は2☓□という形で表せますね」 → ここがわからなければ、ここをもっと説明。

「このことから、2つの偶数は、2☓m と 2☓n という形にすればいいということがわかりますね。たとえば、m=1 なら 2m=2 nが5なら 2n=10」 → ここがわからなければ、もっと説明。

「この問題の「説明文」では 2m という、ある一つの偶数についてしか言っていないことになってしまいますね。2m+2m という形では、同じ偶数を足すという意味になってしまうのです」 → ここがわからなければもっと説明

「そもそもこの問題では、どんな偶数同士を足しても という意味でなければならないので、2m+2n としないと、うまくいきませんね。たとえば m=1 n=3 とか m=6 n=2 などでやってみると……」 → わからなければもっと説明

ってな感じです。

homararahomarara 2014/05/31 09:40 >正さんは「偶数と偶数の和は偶数である」ことを説明しようとして、次のように説明した。

私:「説明」じゃなくて「証明」じゃない?

>・mは整数である。

私:「である」じゃなくて「とする」じゃない?

>・ゆえに2mは偶数である。

私:「ゆえに」って、何ゆえに?(「変数mが整数であるとき、2mは偶数である」と前提を述べたいのかな?)

>・2m+2m=4m=2(2m)

私:唐突に何? この式は何の式? 説明はどこ? イコールを2つ繋げて何したいの?

>・よって偶数と偶数の和は偶数である。

私:「よって」って、何によって?

>この説明に対して、進さんは「偶数と偶数の和は偶数である」として「2m+2mを用いるのは間違いだ」とした。

私:「偶数と偶数の和は偶数である」事を証明しようとしているのに、なぜ証明対象を自明のものとして前提にしてんの?
というか、「偶数と偶数の和は偶数である」が正しい場合、なんで「2m+2mを用いるのは間違い」になるの

進さんの説明が正しいのか、間違っているのかを説明しなさい。

私:・・・。

中2ママ中2ママ 2014/05/31 09:52 説明(証明)問題の前に,偶数,奇数,3の倍数,連続した2つの偶数,2つの偶数などを,文字を使って表現する方法を徹底指導しました。また,文字は変数であることから,どんな数字でも入る魔法の箱というイメージ作り。1〜10程度までを書き出して,偶数と奇数が交互に並んでいること,3の倍数はどうかなど,数字遊びも大切だと思いますよ。
それ以前に,中2の式と計算の単元で,ちがった種類の文字の計算をどのように指導してきたかも大事ですね。
指導は系統性が大事だと思いますから,この問題だけを指導するという考え方が違っていると思います。
わたしは学習塾でバイトをしていたことがあります。これはワークの例題になるような有名な問題なので,研修を受けた記憶があります。
正直私も自分の子には,無料塾には通わせたくないと思いました。お金がかかっても力のある塾は指導をします。無料塾の光景は相談会のような感じですね。指導は授業や講義時間だけの労働で成り立っているわけではないのです。貧困克服のために,準備をしていない指導者がいる塾に通わせるなんて,本末転倒もいいところではないでしょうか。

proneetsyodanproneetsyodan 2014/05/31 09:58 何故理解できないのか。
それは単純に、mをnにすればいいと言われても具体的な例を想像できないからではないだろうか。
例えば〜で、と言う風に具体的な数字を挙げて、説明すれば分かり易いかも、と思ったりもした。

kyberneteskybernetes 2014/05/31 10:02 「偶数と偶数の和は偶数」という表現が既に曖昧さを含んでおり,そこを疑うところから教えなければなりません.「任意の偶数aと任意の偶数bの和は偶数である」というように言い換えれば,問題は起きません.問題文を分析して論理立てるというのは,例えば文章題などでも必要なスキルです.

blackdragonblackdragon 2014/05/31 10:12 この子が理解できていないのは、mやnは任意の数ではあるが、一度に取りうる値は一つだけという前提の部分のように思われます。偶数云々の問題じゃないので、まずはその前提を理解しないといけないのですが、字面で理解しても、腑に落ちないとダメでしょうから、非常に難しいですね。

nancy-jonancy-jo 2014/05/31 10:24 教育姿勢の話でしょ?これ?数学的思考の前に筆者の姿勢がすでに教える側として失格だと思うよ。
それに、中学生数学の問題にくだらない理屈こねくり回してるなんて、数学が可哀想。

alpinixalpinix 2014/05/31 10:35 まず、集合の概念を円が二つ重なる図で説明したほうが良いのでは。

hitotakuchanhitotakuchan 2014/05/31 10:36 その子はそもそも「偶数とは何か」っていうことをちゃんと理解してますか?偶数の「定義」は何か?と聞かれると理解しているつもりの先生でも本当に正しく理解しているか微妙だと思います。
偶数は小学校で習うので、小学校の教科書で偶数の「定義」を参照すると「偶数とは2で割ることのできる整数である」と書かれています。(厳密に書くと 偶数:={m:Z | ∃n:Z, m = 2n} 偶数とは整数mであって、ある整数nが存在してm=2nとなるものの集合であると読みます)小学校の範囲では(マイナス範囲の数を含む)整数を教えないので、この定義は小学生に教えるには適当ではないかもしれませんが、中学生ならわかるはずです。偶数は2で割ることのできる「自然数」ではなく、当然「有理数」でも「無理数」でもない。まずこれらの数の違いや、偶数の定義をちゃんと理解しているか確認してみてください。偶数の定義を理解していれば「定義より」任意の偶数が2nのような形に表されることが理解できると思います。

文字を使う前に文字を使う前に 2014/05/31 10:47 かんたんな例を並べるとイメージしやすいのでは?
偶数+奇数
2+1
2+3 = 2+2*1
4+3,
4+5, など
偶数+偶数
2+2
2+4 = 2+2*2
4+6 = 2*2+2*3
4+10, など。
例を並べて、mやnが何を表しているかを説明すればいい。

mu_min88mu_min88 2014/05/31 10:55 連立方程式は中学2年生から教えるものらしいので,そうなるとまず代数の考え方自体を理解されてないのかなあと感じました。それから,奇数,偶数そのものの意味も実は良く分かってないのではないかと。

あとコメントで「mやnは任意の数」みたいな代数の考え方はやはり初めて出会うものでしょうから,戸惑うんじゃないですかねえ。

あまり建設的な意見は言えませんでしたが,ご参考までに。

(そういえば自分も中学社会の教育実習に行ったとき,中1の数学をちょっと見てあげたことがありましたが,負(マイナス)の概念が分からない子がいて結局わかってもらえずでしたね・・・)

出てるかもだけど出てるかもだけど 2014/05/31 11:06 m,nが整数のとき

整数:m=0,1,2,3,4,5,…(マイナス省略)
奇数:(2m+1)=1,3,5,7,9,11…
偶数:2m=0,2,4,6,8,10,…

奇数+奇数:2m+1+2n+1= 2(m+n+1)= 2M (⇒偶数)
偶数+偶数:2m+2n  = 2(m+n)= 2M (⇒偶数)
偶数+奇数:2m+2n+1 = 2(m+n)+1= 2M+1 (⇒奇数)

奇数の場合と比較して教えないと

nesskonessko 2014/05/31 11:33 教え方の参考になりませんでしょうか。

NHK高校講座:数学?http://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/suugaku1/

kiya2015kiya2015 2014/05/31 12:07 無料だからといってこういう変な教え方されるとそれが子どもの記憶に残って
将来にわたって悪影響を及ぼすんですよ。
クリティカルな年代の子ども相手にボランティア感覚で気軽に教えないでください。

gnetygnety 2014/05/31 12:36 「偶数」って言われたときに任意の偶数1個なのか、偶数全体を表しているのか不明瞭でわかりにく

hogehoge 2014/05/31 12:44 具体的な値を適用するとイメージがつかみやすいです。

この問題は具体的な数字(1,2,3...)から一般化してどんな値にも適用させる過程を問うています。そして、生徒さんはやはりこの一般化の過程で躓いているのかと。

このテの整数問題の取り掛かり方として、実際の数値を幾つか使って「実験」してみるというのがよく用いる手法です。難関大学の入試問題レベルでも、この方法で解法のアタリをつけるということをよくやります。この場合であれば、2+2=4,6+8=14などでしょうか。このような具体的な数字に対して先の 2m+2m=2(2m) を適用しようを考えれば、後者では説明できないことがわかるのではないでしょうか。

別の可能性としては、単に「任意の整数m」という言葉の定義/理解が曖昧なのかもしれません。任意の1つの値をmという文字で代替させるという概念が、最初はとっつきにくいのでしょう。その場合も、m(とn)は「例えばこんな値を取るんだよ」と紙に数字を(無限に)列挙してやるとイメージがつかめるようになるかもしれません。

YukiYuki 2014/05/31 12:44 おそらく、同じ式の中では「同じアルファベットは、ずっと同じ数字を表す」ことがわかってないのかなー…という感じがします。だから、そこをハッキリさせたうえで□とか△とか〇とか☆とか、もっととっつきやすい記号で教えてあげたら意外と納得するんじゃないかなー、と思ったり。違いますかね。

無料の塾、すごく良いコンセプトだと思います。僕の頃にもそういうのあったらなー。

mionhimionhi 2014/05/31 13:26 位(くらい)の概念だってわかると当り前だけど分からないととても難しいことです。文字への置き換えに慣れてないのかもしれませんしmとn2つの文字を使う必要がわからないのかもしれません。指導法云々より分からない相手と突き詰めたほうが益があるかと思います。
無料で教えるとか頭が下がります。頑張ってください。

通りすがりではない読者N通りすがりではない読者N 2014/05/31 13:45  この証明の直後に連立方程式をやるのが普通の教育課程なので、二つの変数をあつかうのは実ははじめてに近いんです(もちろん比例の単元で関数としてはやっているのですが)。

 ですから、先に連立方程式の演習に慣れてもらい、「別々の変数を扱う時は2つの文字を使う」というのを体で覚えてもらったあとに復習すると理解してもらいやすくなります。
 さらに、無理に2n、2mを使わず、2x、2yで教えると理解が早い事が多いように思います。
 上のYukiさんのおっしゃる、記号も有効なことが多いですね。


 というのが原則的な話ですが、実際はある程度の理解が最初に得られないなら、「連続する偶数なら2n、2n+2…、連続してないなら2nと2m」と一定のパターンを暗記させる方が早いです。偶数・奇数・2ケタの自然数、nの倍数と、連続するパターン・2つの数のパターンの表記を覚えれば済みます。

 本質的な理解を求めたいのは山々ですが、人間、その場で本質を理解できるとは限りません。むしろ教育というのは、後々になって「あっそういうことか」と遅れて理解するものだったりしますから。

 本件の場合ですと、そのあたりがパターン暗記であっても、高校受験の頃にはきちんと意義を理解しているものです。多くの子は、紙屋さんの説明で理解できるようになります。先述した、連立方程式などへの慣れも要因の一つかもしれませんが、学校等で繰り返し演習をし、解説を聞いたり読んだりすることで、会得していくもののようです。

 「これはパターン暗記でいいから覚えておこう」という宣言が、苦手意識を生まず、長い目で見れば本質的な理解を生むこともある。そのように私は考えています。


 ……ところで、無料塾というのは画期的なアイデアである一方で、教育の専門職にとっては労働力のダンピングとなる側面もありますね。文化資本の再配分という意義は十二分に判るのですが。
 そのあたりも含め、ボランティアのダンピング性について、紙屋さんには一度突っ込んで解説してほしいな、と思っております。
 長々と失礼いたしました。

nironiro 2014/05/31 13:49 '無料'なのは良いですが,ご尽力に頭が下がります。
でも,子どもたちの機会損失は大きいと思います。
学校の先生,塾の先生,保護者と勉強をすることで,
より楽しく,勉強を好きになれるかもしれないからです。
お書きになっていらっしゃるような授業では,
子どもの勉強嫌いが増すばかりのように思えます。
'教える'のは,それだけの能力がある人がすべきではないでしょうか。
'無料'ということが免罪符になると思われているなら,
多感な時期の子どもたちにとても失礼ではないでしょうか。

nigohirokinigohiroki 2014/05/31 14:14 まず具体例を出すべきでしょ。

hometeachers21hometeachers21 2014/05/31 14:27 基本的にはこの説明で問題ないです。
ただ、数学が苦手な中学生には抽象的すぎます。

>偶数と偶数の和がいついかなるときも偶数であることを示すためには、2m+2mは…
>同じ偶数を足したときのことしか説明できないよね?
>2つの違う(異なる)偶数を足すときにはどう表したらいいだろうか?
>そう、2m+2nにすればいいよね。
>m=nにすれば同じ偶数でも想定できる。

具体的な数を含めながら説明すれば良いのでは?

2mと2mは同じ数になっちゃうんだよ。
m=1なら、2と2。m=30なら、60と60という風にね。

kerodonkerodon 2014/05/31 14:29 こんにちは。
2(mの二乗)+2mだとmmでnはいらなくなるね。

通りすがり通りすがり 2014/05/31 14:43 整数:…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…
偶数:…,-4, -2, 0, 2, 4,… ⇒…,2*(-2),2*(-1),2*0,2*1,2*2,…
つまり偶数というのは2*□、この□に1,2,3…と数字を入れていくとできる数なんだ!と
おそらく数(すう)として中学生は数直線を最初に学ぶでしょうから、視覚的にわかりやすく伝えることが必要ではないでしょうか。
論理的な説明はある程度以上、頭のいい子向けです。特に数学は中学生で苦手意識を持ちがちですので『視覚的に教えること』や上で述べられている方がいるように『具体的な数字』(=1,2,3など)を用いて指導された方がいいと思います。
先生向けの指導書など読まれたことはあるでしょうか?
ボランティアだからこそ自己満足で終わってはいけないと思います。

id:nabeteru1Q78id:nabeteru1Q78 2014/05/31 15:02 既に言及されている方がいますが、上記エントリで触れられていないのが「偶数の定義」です。そして、偶数の定義が「2で割り切れる整数」なので、これはあんまり「なぜ」とか考えさせずに「ルールです」と言って暗記させると、2×任意の数がすべて偶数になることは納得できるのでは。

元物理科元物理科 2014/05/31 15:30 ほかの方も指摘していますが、問題文が不正確ですね。
「すべて(任意)の偶数について」という言葉(条件)が抜けているます。
この問題で「∀」か「∃」の明示がなければ、説明(証明)すべき命題が定まりません。

なので、これでは正さんの説明(足すと偶数になる偶数が「存在すること」の証明)でも間違っていないことになります。言いがかりのように聞こえますが、数学とはそういうものです。

具体的な「数字」から代入可能な「変数」に抽象化するということは、「これはこれ、あれはあれ」という狭い認識から、より広い「法則性」を獲得し、「算数」から「数学」に飛躍する重要な概念です。

この概念を理解する上でのキーワードが「任意の」(=どんな偶数に対しても成り立つことが、この一つの数式で示せるんだよ!)だと思うのですが、それを省いて問題を作った先生が何を考えているのか気になります。

教え方の「手の問題」としては、具体的な数字と抽象的な変数とのギャップを埋めるために、いろいろな数を代入してイメージをつかむことかなと思います。

kzyhnmkzyhnm 2014/05/31 15:51 この人の例が素晴らしいと思います。
例をいくつか出してあげることで次何が来るか生徒が想像し、答えを出せると思います。
数字で理解できたら、あとは文字に置き換えるだけです。
>かんたんな例を並べるとイメージしやすいのでは?
>偶数+奇数
>2+1
>2+3 = 2+2*1
>4+3,
>4+5, など
>偶数+偶数
>2+2
>2+4 = 2+2*2
>4+6 = 2*2+2*3
>4+10, など。
>例を並べて、mやnが何を表しているかを説明すればいい。

yoshidaayoshidaa 2014/05/31 15:54 この場合「 (すべての) 偶数で命題が成り立つことを説明する」というのが暗黙の前提とされてたりするから厄介なのかもしれませんね。「 (ある) 偶数に関して」だったら正さんの説明でもいい気が。数学に見えて、じつは国語にカベがあるという。。

みしょみしょ 2014/05/31 15:55 蛇足ですが,よく考えると,偶数/奇数を 2n, 2n-1 とおけるのって非自明なんですね。
奇数の定義は2で割ると1余る整数である。奇数をxとしたとき,x-1 は 2 で割り切れる。その商 n は整数である。ゆえに x=2n+1 である整数 n が必ず存在する。(勉強になりました。)

satoshi_komysatoshi_komy 2014/05/31 16:24 任意の整数mとnがあります。
それぞれ2倍したものは必ず偶数です、つまり2mと2nは偶数です。

問題通り2mと2nをたすと、2m+2n=2(m+n)。
m+nは偶数/奇数を問わない任意の整数です、これをAとおくと、
2m+2n=2(m+n)=2A。

Aは何かしらの整数なので、その2倍である2Aは必ず整数・・・としか説明できません・・・

ああああああ 2014/05/31 17:01 国語の問題もあるように思います。「偶数ってなんだ?」というあたりがつまづいているので「数とはなんだ?」というところを理解させる→ゼロ、奇数、偶数、・・・とつづく事を納得させ→すべて数は2をかけると偶数になることを帰納的に理解させ→偶数=整数の2倍である
という段階を踏めばいけると思います

ななしでごめんなさいななしでごめんなさい 2014/05/31 17:01 偶数奇数などの数学的な概念の部分でまだ分かっていないのに加えて
「証明」自体にまだ慣れてないせいで
その証明が十分なのか不十分なのか?がいまいち分からない
っていうところもあるんじゃないかなと思います

正さんの説明はm=nの場合しかカバーしてはいないという点で不十分であるものの
(その不十分さは証明としては「誤り」となりますが)
正さんの言っていること自体に「誤り」はないわけですから

・数学的な概念の部分での理解
・証明をすることについての慣れ
・注意深さ
の三つがあってやっと答えられる問題だと思うので
理解した上でさらにこの問題のネタばらしをしてやっと「ああそういうことね」となりそうな

anoano 2014/05/31 17:02 なぜ偶数+偶数が偶数になるのかを一生懸命説明しても、生徒の疑問に答えることはできないような気がします。
偶数の足し算に関する性質と、進さんの指摘とはあまり関係がないと思うからです。

「2m+2mで証明するのは間違いだ」という進さんの指摘はもちろん正しいです。
ですがそれは「最終的に二つの変数を扱わなければならないのに、一種類しか変数を用意していないから」です。

2m+2mだと、2+2や4+4のように同じ数同士の計算はできますが、2+6や4+2のように異なる数同士の計算はできません。だから、2m+2mで証明をするのはおかしい。

偶数の足し算についての性質を説明している方もたくさんいますが、この問いでそれを説明しても答えにはつながらないと思います。「二種類の変数を用意しなきゃいけないのに、変数を一種類しか用意していなかった」この部分についてのみ説明すればよいのではないでしょうか。

とーりすがりとーりすがり 2014/05/31 17:53 そもそも、同じ数を二つ足したものは偶数である、の証明としては正しいのですよね。
だから、論理にも矛盾は生じていない。正しいことが書かれているのに、なぜ間違いなの?
つまり、「言っていることは正しいけど、答えにはなってないよ」というのが納得できないのではないでしょうか。
世の中でも答えになってないけど反論できない回答でごまかす輩は多いわけで、それを見抜いてね、という良問だと思います

sakurai_youheisakurai_youhei 2014/05/31 18:00 設問は帰納のプロセスを飛ばしていきなり命題の演繹を試みているので、演繹だけだと一見正しい気がしてしまう。誰しも演繹の矛盾を探る過程で帰納的に背反を探すので、まずは帰納的に自分で命題を考えさせて、それと演繹とがどのように反するのかを考えるようにむけると良いかと。

ならなら 2014/05/31 22:12 既に出てるかもしれないけど、
偶数足す偶数の計算を具体的に複数作らせて、

nとmを求めさせるといい。
そうすれば、とりあえずは、n=mでない事がわかる。

その過程で、nとmを使えば全ての偶数同士の足し算の式を表現できる事も理解してくれると助かる。

ななしななし 2014/06/01 00:54 読んでいて、いくつかその子に確認してみたいなあと思ったことを段階的に書いてみます。あまり参考にならないかもしれませんが……

?偶数という言葉の意味が曖昧でないか
偶数は2で割りきれる数、つまり偶数は2×整数で表すことができる数だ、ということを把握しているか。
ここで躓いていたらまず、偶数の意味を教える→具体的な例をいくつか挙げる(2、14、256など適当にでもよし)→挙げた例の共通点(全部2の倍数)を見つけて、それを元に偶数は2×整数で表すことができる、という感じの流れで教えてみようかなと思います。

?mを任意の整数として、偶数を2mと表すという代数の感覚が掴めているか
mを数の代わりに使っている、という感覚があるかどうか確認します。文字になった瞬間に、文字と数を別物と思い込む子を何人か見たので、もしそうなってたら虫食い算を使ったりして文字は数の代わりに使ってる、というのを教えます。

?ひとつの数式の中に同じ文字が使われていたら、それは同じ数だというのが分かっているかどうか
「分からない数を文字にする」という説明をしていると、文字=数の代わり、ではなく文字=分からない数、という風に思っている子がいるかもなー、となんとなく。
分からない数を文字にしてるんだから、2mと2mでなんか問題あるの? みたいな。
もしそう思い込んでいたら、ひとつの数式のなかで同じ文字が使われていたら、それは同じ数なんだというのを教えます。
国語得意な子なら、暗号みたいなものだから、ひとつの文字が2だったり3だったり21だったりしたら暗号解読できないでしょ、とか言ってみるかもしれません。

思いついたのはこのくらいですが、もしかしたら全然違うところでひっかかってるかもしれないですし、難しいですね。その子がわかった! と思えるような妙案が浮かぶことを祈っております。

不壊不壊 2014/06/01 10:09 偶数を2mと表すことを得意にするためにまずは1から数列を教えてみてはいかがでしょうか?

あらああらあ 2014/06/01 10:49 数学は暗記だって言う人がいるけれど、そういう人が数学嫌いや苦手な人を増やしてくれる。学校の教師でも塾の講師でもないことを願うばかりです。

つるつる 2014/06/01 14:54 中学生だと、人によっては数式での一般化は理解できないですよね。

キットカットか、パピコで。

全力で独り言全力で独り言 2014/06/01 21:10 問題文作り変え(対話形式を発展させ)てみました。「問題」でなくなりましたけど‥。回りくどいようですが、どの行(段階)でつまずいているか文書でわかるように自分なりに工夫してみました。少しでもお力添えできればと‥。誤りなどご指摘・ご批判いただければ幸いです。(二次創作。キャラ崩壊御免。)

(正)「ちょっと聞いてくれ、大発見かもしれん!」
(進)「何が?」
(正)「偶数ってあるじゃん?整数を2倍した数だよ。2とか4とか−6とかさ。あれをどれでもいいから二つ選んで足してみる。するとその和はいつも偶数になるみたいなんだよ。」
(進)「ふーん。そうなの?」
(正)「例えば2+6=8だろ、34+60=94な!」
(進)「まあ、そうかもしれないけど。一例だろ?そうならない場合もあるんじゃないの?」
(正)「そう、それなんだよ。全部の場合を計算して確かめられればいいけど、いくらでもあるからなあ。」
(進)「全部の場合っていくつあんの?」
(正)「無限。」
(進)「いつ終わるんだよ‥。それじゃあ『いつも』なんて言えないぜ。」
(正)「そこで、こんな風に考えてみた。」
(正)「どれでもいいから整数を二つ選ぶ。これをmとnとする。」
(正)「それぞれ2倍すると定義上二つの偶数2m、2nができる。」
(正)「この整数m、nの値をそれぞれ自由に選ぶことで2m、2nはどんな偶数でも表せるはずだ。だから『どれでもいいから偶数を二つ選んだこと』と同じことになるはず。」
(正)「それで、それらを足し合わせたらどうなるか。『どれでもいいから選んだ二つの偶数の和』を表すことができると思うんだ。こんな感じで。2m+2n。それは2(m+n)と同じ意味になるので2m+2n=2(m+n)(m、nは任意の整数)」
(進)「‥え?そうなの?いろいろわからんところあるけど。まずさ、なんで二つの偶数を区別する必要があんの?」
(正)「それは‥。二つの偶数がいつも同じ値になるわけではないからだけど。二つがいつも同じ値の時は区別せず2m+2m。同じ値になる場合も含むけど、いつも同じにはならない場合には2m+2n。今は2m+2nの場合で考えているからかな。」
(進)「そうなの‥か?まあいいや。じゃあさ、2m+2nが全部の場合を表しているってどうしていえんの?(2×整数)で表せないような偶数もあるんじゃないの?思いつかないけど。まだ発見されていないか、人間の能力では認識できないか‥。」
(正)「定義上(2×整数)だから、偶数を過不足なく表しきれていると‥思うけど。ダメ?」
(進)「いやまあ‥。そうか‥仮になにか新しく発見されても、それを除外すれば今議論している内容は限定つきになるけど無駄ではないのか。いいのか。」
(進)「じゃあ、最後に。ここが一番問題だけど、2(m+n)ってなによ?」
(正)「(m+n)は整数になるから、その2倍で2(m+n)はいつも偶数ってことになる。」
(進)「そうか‥(m+n)は整数‥整数?いや、ちょ、なんで?整数+整数はいつも整数になるの?」
(正)「整数といえば‥。−3、−2、−1、0、1、2、3とかだから、0に1ずつ足してできる数や、0から1ずつ引いてできる数。それから0も含む。」
(進)「それがどうしたの?」
(正)「1の足し算か、1の引き算か、あるいは0である数を、二つ足し合わせても1の足し算か、1の引き算か、あるいは0の数にしかならない、と思うんだ。例えば、1+2=3、(−2)+1=−1‥。だから(m+n)は整数。」
(進)「‥‥。まあ、そうだとしましようか‥。じゃあ、元に戻って2(m+n)はいつも偶数になり、『どれでもいいから選んだ二つの偶数の和』はいつも偶数になるってわけだな。」

(正)「大発見だろ?」
(進)「大発見ね‥。余談だけどさ、『どれでもいいから選んだ二つの偶数の和』はいつも偶数だ、とすればだな、最初言っていた2+6=8とか34+60=94とかの、全部の場合の偶数の足し算を終えたってことになるんじゃね?」
(正)「無限回の足し算の処理が終わったってこと?」
(進)「そう。」
(正)「それは‥ならないんじゃないの?無限っておわらないことだから‥。」
(進)「実際には終わっていないけど、予測できてしまうってことか!?そーなのかー。」

か 2014/06/01 21:14 準備不足ですね

>というわけで、何がわからんのか、わからん!

何が分からんのかが分かったら、授業の目的は8割方達成している、だって「ここが分からない」と分かってる人に聞けばいいから
この問題には、皆さんが指摘しているように多くのつまづきうる点があって、そこを講師が事前に理解しておかなくては、学生は前に進めませんよね

てらやまてらやま 2014/06/01 23:40 はじめまして!!長文すみません!!

今回の紙屋さんの投稿を読んでいたら、頭の中に勝手に生徒が出てきまして、
その生徒と自分との脳内会話を一気に文章にしました!!

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
最初に自分(先生)から「まず『偶数と偶数の和は偶数である』って問題文に書いてあるんだけど、
これってどういうことか意味わかる??」って生徒に聞きます。


【1.生徒が「分かる」って言った場合】
そしたら、「じゃあどういうことか先生に説明してくれる?」って生徒に聞いて、
生徒が本当に意味を理解しているのか確認します。

ここで「たとえば4と6を足したら10で偶数になるし、6と8を足しても14で偶数になる」くらいの説明が生徒から出てきたら、
「おお、完璧に理解してるじゃん!!そうだよね、つまり偶数だったら、それにどんな偶数を足しても、
絶対に答えも偶数になるってことだよね」というように話し、問題文を正確に理解させます。

このあとは、「じゃあ、さっき言った4って数を表したいなら、この2mのmにはいくつが入ればいいの?」って聞いて、
ここで「2」という答えが生徒から出てきたら、「そうだよね。2×2で4になるよね。でもさmが2ってことは、
この(後ろの2mを指差して)2mは、いくつになるの?」って聞きます。

ここで、4って返ってくると思うので、「そうだよね。でもそれだと、さっき言ってた4+6にならないよね」と返し、
続いて「じゃあ、ここ(前のm)とここ(後ろのm)って同じ文字使っていいと思う?」って聞くと
「ダメ」って返ってくるはずなので、「そうだよね。じゃあこの同じ文字使っている正さんって、いいの?ダメなの?」って聞くと
「ダメ」って返ってくると思います。

ということで、正さんの説明がダメであることが理解できました!!

ということは、正さんの説明がダメだと言っている進さんは、、、正しい!!!!


【2.生徒が問題文の意味を「分からない」って言った場合】
この場合、
a.偶数の意味が分からない
b.和の意味が分からない

のどちらかだと思うので、問題文を言い換えて
「2で割り切れる数、つまり6とか10とか同士を足し合わせると、その答えも2で割り切れる」と言って問題文を理解させる。
その後、生徒にいくつか偶数を適当に言わせて、本当にそうであることを生徒自身に確認させる。

おそらく偶数や和というものが分からない時点で、偶数が2mと表されることに対して簡単に理解できないはずなので、
「数字の代わりに文字を使うこと」に対しての詳しい説明が必要になってくる。
そこがしっかり理解できたら、上記の1の説明を行う。

以上です!!
参考になれば嬉しいです!!!

通りすがり(そのエックス)通りすがり(そのエックス) 2014/06/02 00:11 生徒さんは、問題文中の「2m+2m」の、前のmとあとのmに、別々の整数をいれて良いと思っているのではないでしょうか。

8時間睡眠8時間睡眠 2014/06/02 01:32 まず、無料塾について。塾と言ってますが、おそらく、講義形式ではありません。生徒が、授業中に教科書やプリントなどでわからなかった所を講師に聞くのだと思います。何が聞かれるか事前にわからないため、講師はそもそも準備ができません。準備不足と批判している人はその点はわかってあげてください。「これくらいの説明、準備なしでもできないとダメ」っていうんであれば、はぁそうですか、って感じですが。


さて、「偶数と偶数の和は偶数」の説明ですが、この文章は数学をやっている人には自然に理解できるのですが、省略された言葉を補えばこのようになります。

「好きな偶数を何でもいいので1つ選びます。さらに、もう1つ好きな偶数を何でもいいので選びます(同じでも違っていてもいい)。すると、この2つを足した答えはいつも偶数になります」。

文章をこのように理解しているかどうかが全てです。「うまく2つの偶数を選んだら、たまたま和が偶数になったよ」とは違いますし、「好きな偶数を1つ選んで、その偶数とその偶数を足したら、いつも偶数になるよ」とも違います(正さんのは後者の理解になってしまっている)。

文章の理解があっていれば、1つ目と2つ目の偶数は異なる場合もあるのだから、同じ文字を使って説明してはいけない、ということは理解できるはずです。なので、文章の理解ができていないのかもしれません。数字を使った具体例でもいいのですが、そもそも文章を変えて説明してみます。


こういう文章例で考えてみましょう。「うまいカレーとうまいカレーを混ぜたら、うまいカレーができる」。これを確かめるにはどうすればいいでしょう。うまいと言われているカレーを片っ端から集めて、まぜてみて結果がどうなるか確認しますよね。1つ目のカレーと2つ目のカレーが同じ場合も一応ありえます(鍋からカレーをよそって、もう一度よそう場合とか。結果は明らかにうまいカレーだけど)。ただ、普通は違う場合も考えますよね。しかも、すべてのうまいカレーで成り立つかチェックしますよね。

「偶数と偶数の和は偶数」も同じです。全ての偶数の組み合わせに対して、和が偶数であることをチェックしないといけない。その時、1つ目と2つ目の偶数は言葉は同じでも中身が違う場合があります。2+4のようにね。なので、2m+2mと書くことはできないんですね。同じ文字を使うというのは、カレーの例であれば、「鍋からカレーをよそって、もう一度よそう」ことしかチェックしないことになりますからね。中身が違うかもしれないので、違う文字を使わないといけないんですね。


こんな感じでどうでしょうか。


以下は余談です。

この子のつまづきポイントは、「偶数を2mと書く」こと自体ではないと思います。ひょっとしたらそう習ったからそう覚えてるだけなのかもしれません。このブログ記事からは判断できません。ただ、今回のつまづきポイントはそこじゃないような気がします。もしそこなら、この問題で質問することはないかと。

「偶数と偶数の和がなぜ偶数になるか」もつまづきポイントではありません。この文章をどう理解しているかはわかりませんが、命題がわからない、理解できないということはないと思います。(理解の仕方に問題があると予想されますが)

説明に奇数などを持ち出してる人もいますが、余計混乱すると思います。また、命題があいまいという指摘もありますが、数学ではこの文章は普通です。これはどう読んでも「任意の偶数と任意の偶数の和は偶数である」の意味です。

正さんの説明の流れが変という指摘がありますが、それには同意です。整数から偶数を作るという流れになってますが、本来は「2つの偶数はそれぞれ2×整数と書ける」というような流れじゃないといけません。

ちなみに、正さんの説明した内容は「偶数とその偶数との和は偶数である」であり、違う命題の説明になっています。

bathrobebathrobe 2014/06/02 07:28 具体例を繰り返して、一般化された概念に繋げる・・・に一票。

つまり、m や n にいろいろなものを代入してみる。
偶数は 2, 4, 6, 8... だよね。
nは1,2,3,4... が入るよね。
2倍すると 2,4,6,8... になるよね。


ここから始める。

暇つぶし暇つぶし 2014/06/02 11:19 1=1
1+1=1×2
2(1+1)=(1+1+1+1)
2=(1+1+1+1)/2
1=(1+1)
1=2

ぬこぬこ 2014/06/03 01:34 そもそも、整数をm、自然数をnと表記すること自体が
わかっていないのではないでしょうか?
n自然数は natural number の略だと思うのですが
mってどういう単語でしたっけ?

英文法のSVOとかも、S:主語(Subject), V:動詞(Verb), O:目的語(Object)
というように何の頭文字って教えてもらうまでは意味不明な呪文でした

小麦小麦 2014/06/05 23:08 皆さんのコメントが凄すぎる!
私も分からないところが分からない生徒でしたので、何もアドバイスは出来ません(*´∀`)
ただ、無料塾に参加してくるお子さんがあまり学習意欲がないのなら、ゆっくりお茶でも飲んでその子の今までの学習スタイルについて聞いてみたらどうでしょう?
一生懸命教えられても分からない子もいますよ。

ゆんぼゆんぼ 2014/06/06 12:58 一般性がなければならない、という意味が、生徒さんはよく分からないのだと思います。

2m+2m=4m、偶数と偶数の和が偶数である、どちらも同じことじゃないの?
これに何か問題でも?という感覚だろうと思います。

問題文も悪いですが、一般性のある説明として正しいか、正しくないか、という意味であることを
ちゃんと伝えないと分かりにくいと思います。

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