かつてウェブ上で動くシステム(掲示板とかチャットとか)は、ブラウザがアクセスするたびにアプリケーションを起動するような方式で動いていました。
でもそういうシステムがだんだん複雑になるにつれて、もっと効率の良い方法が求められるようになりました。リクエストがあるたびに毎回アプリケーションを起動するのではなく、起動しっぱなしのアプリケーションにリクエストを渡すやりかたが主流になっていきました。
そのようなアプリケーションがサーバみたいに動きっぱなしなソフトウェアを、(ウェブ)アプリケーションサーバといいます。
代表的なものとして、Oracle WebLogic, IBM WebSphere, Fujitsu Interstageなどがある。