ポアンカレ予想

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サイエンス

ポアンカレ予想

ぽあんかれよそう

1904年にフランス数学者アンリポアンカレによって提出され た。

単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相であると予想した

X^3:closed ¥ {mfd},¥pi¥small1¥(x^3)=0¥Rightarrow¥ X^3 ¥approx¥ S^3


3(n)次元閉多様体とは

多様体とはコンパクトで境界のない多様体である

ここでいうコンパクトとは位相的に極めて重要な性質の1つである

またn次元球面s^nとは

s^n={x_1.¥cdots.x_n+_1}¥in¥R^n+1¥|X^2_1+¥cdots+X^2_n+_1=1}

のことで我々の認識している球面は2次元球面s^2のことである

ポアンカレ予想はn次元に一般化することが可能である


研究の推移

n=2:古典的な結果として既知であった

n≥5:スティーヴン・スメイルによって(1960年)証明された。

n=4:マイケル・フリードマンによって(1981年)証明された

n=3:ウィリアム・サーストンの幾何化予想をしその役割は大きい

そして、

2002年から2003年に掛けてロシア数学者グリゴリー・ペレルマンはこれを証明したとする複数の論文arXivに掲載

グリゴリー・ペレルマンの解法はリチャード・ストレイト・ハミルトンが創始したRicci flowの理論に「手術」と呼ぶ新たな手法を付け加えて拡張し、サーストンの幾何化予想を解決してその系(微分幾何学物理学の手法をもちいて)としてポアンカレ予想を解決した(と宣言した)

これらの論文について2006年の夏頃まで複数の数学者チームによる検証が行わ れた結果、現在では彼が実際に証明に成功したと考えられている。ペレルマンはこの業績 によって2006年のフィールズ賞を受賞した(ただし本人は受賞を辞退した。)

サイエンス

ポアンカレ予想

ぽあんかれよそう

数学、特に位相幾何学における非常に有名な予想。ミレニアム懸賞問題に設定されていたが、2003年4月にロシア数学者Grisha PerelmanがMIT、またそれに続くSUNY(ニューヨーク州立大学)における講演会にて解決を宣言した。真偽の確定には、数ヶ月から数年掛かる見込み。

ポアンカレ予想は、直感的に言えば「どんな掛け方をされた輪ゴムも無理なくはずせる、手の上に乗る一つ物体は、滑らかに球に変形出来る」という主張で(参照:http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049433413/の54)、例えばドーナツのように穴があいていると掛けかたによって輪ゴムはハサミなどで切らないと外せません。

Perelmanは、物体がボトルネックのように急激に細まってしまい、扱いが難しくなるような場所でもあらかじめ、そこを、「手術」と呼ばれる方法で、より滑らかになるように覆いを被せることで、今までの困難を解決しています。

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