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マクスウェル方程式

サイエンス

マクスウェル方程式

まくすうぇるほうていしき

以下の4つの方程式で表される、電場磁場に関する方程式。湧き出し(divergence, ¥vec{¥nabla} ¥cdot)や回転(rotation, ¥vec{¥nabla} ¥times) といった流体のイメージを喚起する微分演算子を使って書かれている。実際マクスウェルは流体とのアナロジー方程式を考案したといわれている。

  • ¥vec{¥nabla} ¥cdot ¥vec{D} = ¥rho 電気力線は電荷から湧く
  • ¥vec{¥nabla} ¥cdot ¥vec{B} = 0 磁力線は湧かない
  • ¥vec{¥nabla} ¥times ¥vec{E} = -¥partial ¥vec{B}/¥partial t 磁場が変わると電場が巻く
  • ¥vec{¥nabla} ¥times ¥vec{H} = ¥partial ¥vec{D}/¥partial t + ¥vec{j} 電場が変わるか電流があると磁場が巻く

¥vec{E}電場¥vec{D} は電束密度と呼ばれ、真空中では電束密度は電場に比例する¥vec{D}=¥varepsilon_0¥vec{E}¥varepsilon_0は真空中の誘電率と呼ばれる。

¥vec{H}磁場¥vec{B} は磁束密度と呼ばれ、真空中では磁束密度は磁場に比例する¥vec{B}=¥mu_0¥vec{H}¥mu_0は真空中の透磁率と呼ばれる。

相対性理論的に共変な形式にマクスウェル方程式を書くと、非常にきれいな形になる。4元ベクトルポテンシャルA^¥mu=(¥phi/c,¥vec{A})から、電磁場テンソルf_{¥mu¥nu}=¥partial_¥mu A_¥nu-¥partial_¥nu A_¥muを定義すると、マクスウェル方程式は以下のように書ける。

  • ¥partial_¥mu f_{¥nu¥rho}+¥partial_¥rho f_{¥mu¥nu}+¥partial_¥nu f_{¥rho¥mu}=0
  • ¥partial_¥mu f^{¥mu¥nu}=j^¥nu/¥varepsilon_0

ただし、j^¥mu=(c¥rho,¥vec{j})は4元電流密度である。

更に、微分形式を用いた表現もできる。2-形式 f=f_{¥mu¥nu}dx^¥mu¥wedge dx^¥nu/2 と 1-形式 j=j_¥mu dx^¥mu を導入することで、マクスウェル方程式

  • df=0
  • *d*f=j

と書ける。ただし、d は外微分作用素* はホッジの星印作用素である。

*リスト::物理関連