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マクローリン展開

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サイエンス

マクローリン展開

まくろーりんてんかい

マクローリン展開

 関導数y=f(x)関数y^’=f^’(x)導関数を2階導関数といい、f^’’(x),¥frac{d^2}{dx^2}f(x),y^”,¥frac{d^2y}{dx^2}

と表す。さらに2階導関数の導関 3階導関数といい、f^’’’(x),¥frac{d^3}{dx^3}f(x),y^”’,¥frac{d^3y}{dx^3} 表す。一般にn-1 階導関数をn 階導関数f^n(x),¥frac{d^n}{dx^n}f(x),y^n,¥frac{d^ny}{dx^n}いいと表すf^n(x)y^n の表し方はn が大きいときも使う。

 高い階数の導関数を用いてテイラーの定理を呼ばれる次の定理を得られるa<bのとき

f(b)=F(a)+f’(a)(b-a)+¥frac{f”(a)}{2!}(b-a)^2+¥frac{f”’(a)}{3!}(b-a)^3....¥frac{f^n(a)}{n!}(b-a)^n+¥frac{f^(n+1)(c)}{(n+1)!}(b-a)^n+1になるようなC が a<c<bを満たすように存在する

 実際はa=0,b=x,c=x¥sigma¥ ( 0<¥sigma<1 ) としたマクローリンの定理

つまり無限回微分可能な関数 f( x ) について,

クローリンの定理を使い無限級数の形で表すことをマクローリン展開といい、この級数マクローリン級数という。

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