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メルセンヌ素数

サイエンス

メルセンヌ素数

めるせんぬそすう

Mersenne Prime

メルセンヌ数であり、かつ、素数である数。

自然数nに対して2^{n} -1メルセンヌ数と呼び、更に素数であればメルセンヌ素数と呼ぶ。たとえば、2^{2}-1は3であるので、3はメルセンヌ素数である。

2^{n}-1メルセンヌ素数であれば、nは素数である。なぜなら、二つの整数a,bに対しメルセンヌ数2^{ab}-12^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1=(2^{a}-1)(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+...+2^{a}+1)整数の積と書けるからである。逆に、nが素数だとしても、例えばn=11として2^{11}-1=2047は23x89となるので、素数から作られるメルセンヌ数が必ずメルセンヌ素数になるわけでない。

nが2,3,5,7,13, 19, 31など最初の多くの素数達はメルセンヌ素数を与える。整数論の「メルセンヌ素数は無限にあるか」という問いに対する挑戦として、またより単純に人類により大きな素数をもたらすために、現在もネットワークコンピューティング等でより大きなメルセンヌ素数の発見の試みが続けられている。

特に、メルセンヌ素数2^{19937}-1は、疑似乱数発生アルゴリズムとして知られるメルセンヌ・ツイスターに使われている。


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