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圏論

サイエンス

圏論

けんろん

圏と圏論

カテゴリー)は、ある公理系を満たすような構造全体を考察する際の“定式化の枠組み”を与える。例えば、すべての群(と群準同型写像)からなる圏、すべてのコンパクト・ハウスドルフ空間(と連続写像)からなる圏などを定義できる。一方、圏それ自体も一種の代数系とみなすことができる。

狭義の圏論は、圏を対象とした代数的(あるいはときに幾何学的)一般論であるが、具体例や応用から触発されて、特定の構造/性質を持つ圏を深く探求する分野も含めて圏論と呼ぶこともある。

圏の定義

圏の定義はいろいろあり得るが、代表的な定義を挙げる。なお、引用符に囲まれた“集合”、“写像”という言葉については後述する。

  • 対象と呼ばれるモノの“集合”がある。これをObjとする。
  • と呼ばれるモノの“集合”がある。これをMorphとする。
  • dom, cod : Morph → Obj という“写像”がある。f∈Morphに対して、dom(f)をfのcod(f)をfの余域と呼ぶ。
  • id : Obj → Morph という“写像”がある。a∈Objに対して、id(a)をaの恒等射と呼ぶ。(id(a)はidaと書かれることが多い。)

この状況で、cod(f) = dom(g) のときだけ定義される、結合または合成と呼ばれる2項演算 comp :Morph×Morph → Morph(部分的“写像”)があり、次の法則を満たす。(以下、comp(f, g)をf;gと書く。f;gではなくて、g・f と書くことも多い。)

  1. dom(id(a)) = a、cod(id(a)) = a
  2. dom(f;g) = dom(f)、cod(f;g) = cod(g)
  3. (f;g);h = f;(g;h) --(結合律)
  4. id(dom(f));f = f、f;id(cod(f)) = f --(単位律)

このとき、(Obj, Morph, dom, cod, id, comp)からなる系を圏と呼ぶ。

小さい圏と大きい圏

圏の例として、すべての集合を対象として、すべての写像を射とする圏がある。この例から明らかなように、対象や射の全体を通常の意味での集合と捉えることが困難なケースもある(これが、引用符付きで“集合”と書いた理由)。対象と射の“集合”が、ほんとの集合になるとき、それを小さい圏と呼ぶ。大きい圏(小さくない圏)では、その議論に基礎論的困難が生じることもあるが、あまり頓着されていないようである。

圏の例と圏論の応用

集合の圏関係の圏などは基本的かつ具体的な圏である。さらに、集合に構造を入れた対象の全体と構造を保つ写像(準同型)の全体を考えて、モノイドの圏可換環の圏(部分)順序集合の圏位相空間の圏などを考えることができる。

それとは別に、演算やオペレータを備えた圏として、モノイド圏(monoidal category;単圏とも呼ぶ)、トレース付きモノイド圏2-圏双圏などもある。さらに、2-圏、双圏の一般化としてn-圏(高次元圏、高次圏)も考察されている。

具体的な圏から抽象化された圏としては、線形空間加群の圏の抽象化であるアーベル集合論と論理の圏論的定式化であるトポスなどがある。

ホモロジー代数トポロジー代数幾何などでは、圏論が基本的な道具となっているが、様々な分野において、構造に関する理論を整理して記述する枠組みとしても重宝する。また近年では、物理やコンピューティング・サイエンス情報科学)にも圏論が応用される傾向にある。その例として、量子計算の高水準の記述、ラムダ計算の意味論、型理論の定式化、諸々の計算効果/計算現象の(モナドによる)整理などが挙げられる。