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四元数

サイエンス

四元数

しげんすう

四元数

別名:クォータニオンハミルトン数

四元数全体をハミルトンの頭文字を用いてHと表す。

虚数単位i,j,kを用い、実数x,y,z,wに対して、x1 + yi + zj + wk ¥in H

積の定義は、

  1. 結合法則を満たす。和に関して分配法則を満たす。
  2. i^2 = j^2 = k^2 = -1
  3. ij = -ji = k,jk = -kj = i,ki = -ik = j

である。

交換法則は成り立たないが、0以外の元に対しては逆元が存在する。四元数全体は体となる。

三次元の剛体の回転を表すオイラー角との間に同型写像がある。3x3行列同士の掛け算よりも四元数同士の掛け算の方が計算が少なくて済むので三次元ゲームのプログラミングでは四元数を使うのが必須のテクニックとなっている。

ハミルトンがある朝、朝食の時息子に「複素数を3つの次元に拡張するアイディアは出来たの?」と聞かれ、まだだと答えて散歩に出た。ある橋にさしかかった時に3でなく4にすればうまくいくことを閃いて積の規則を橋に書き留めた。その書き込みが今でも残っているらしい。

*関連キーワード複素数,八元数,十六元数

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