写像とは - はてなキーワード

写像

写像しゃぞう（サイエンス）

物理

物体から出た光が鏡やレンズで反射・屈折されたのち、集まってできる像　(goo辞書より)

数学

二項関係f $f￥subset X￥times Y$ が $X$ から $Y$ への部分写像(partial mapping)であるとは、

$￥forall x￥in X￥forall y,y’￥in Y((x,y)￥in f￥wedge (x,y’)￥in f￥Rightarrow y=y’)$

となることをいう。すなわち、いかなる $X$ の元 $x$ に対しても、二項関係 $f$ を満たす $Y$ の元が高々1つ存在するとき、二項関係 $f$ を部分写像と呼び、 $(x,y)￥in f$ なる $y$ を $f(x)$ と表記しようというのである。 $f$ が $X$ から $Y$ への部分写像であることを $fX￥to Y$ と書く。 $X$ を始域(domain)、 $Y$ を終域(codomain)という。 $f(x)$ が定義される $x$ の範囲を定義域といい、 $f(x)$ の動く範囲を値域という。定義域と始域が一致する部分写像を写像(全域写像、 total mapping)という。数学の文脈で写像といえば普通全域写像を指す。一方計算論などの分野では、必ずしも値を返すとは限らない写像を考えたい場合などもあり、写像を部分写像の意味で使うこともある。

$X’￥subset X$ の写像 $f:X￥to Y$ による像 $f￥[X’￥]$ とは $f￥[X’￥]=￥{f(x)￥in Y~|~x￥in X’￥}$ である。 $Y’￥subset Y$ に対して逆像 $f^{-1}￥[Y￥]$ とは $f^{-1}￥[Y’￥]=￥{x￥in X~|~f(x)￥in Y’￥}$ である。誤解のおそれが無いならば、像や逆像の鈎括弧の代わりに丸括弧が使われる。空集合を始域とする写像は存在し、それは空集合自身となる。写像のことを関数ということもある。特に終域が複素数の部分集合であるような写像を関数と呼ぶこともある。

時事ネタ

2010年5月２日テレビ番組「デキビジ」において勝間和代とひろゆきが対談した際「いや、リアルの話に対してインターネットが写像であるということに、何故ですね・・・」と発言したところ、西村博之が「シャゾウ？　何ですかシャゾウって？」と返すと、勝間和代は呆れ返ったかのような態度で「だめだこれ」と吐き捨てたため、ネットで話題に。

本来は数学用語であり、現代数学の基礎となっている。

詳細は前述の通り。

関連項目
- 二項関係
- 全射
- 単射
- 全単射
- 関数

リスト::数学関連

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2013年05月25日 14時58分現在

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た	テンソル, 単射
は	HITS, ベクトル束, 微分, 汎関数
ま	モルトプレーン
ら	量子コンピュータ, 連続, リーマン面, 連続写像

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