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準同型定理

サイエンス

準同型定理

じゅんどうけいていり

1. 群の準同型定理

G,G’ を群、f:G¥to G’ を群の準同型とするとき、{¥rm Ker}fG正規部分群で、群の同型

G/{¥rm Ker}f¥stackrel{¥sim}{=}{¥rm Im}f

が成り立つ。またこのとき、G{¥rm Ker}f を含む部分群 H{¥rm Im}f の部分群 H’

H=f^{-1}(H’)¥leftrightarrow H’=f(H)

なる対応で一対一に対応し、H,H’ の一方が正規部分群ならもう一方もそうである。

2. 環の準同型定理

R,R’ を環、f:R¥to R’ を環の準同型とするとき、{¥rm Ker}fR の両側イデアルで、環の同型

R/{¥rm Ker}f¥stackrel{¥sim}{=}{¥rm Im}f

が成り立つ。またこのとき、R{¥rm Ker}f を含む両側イデアル I{¥rm Im}f の両側イデアル I’

I=f^{-1}(I’)¥leftrightarrow I’=f(I)

なる対応で一対一に対応し、環の同型 R/I¥stackrel{¥sim}{=}{¥rm Im}/I’ が成り立つ。

リスト::数学関連