全称

日記の練習です。『入門！論理学』、「すべて(全称)」と「存在する(存在)」が出てきて、これを「命題論理」に対して「述語論理」と呼んで、「あ、『述語』ってそういう意味か」という気づきがあった。 「『すべて』と『存在する』の推論」p.194 より 私のアンパンを食べた者がいる。 私のアンパンを食べた者には天罰が下る。 だから、天罰の下る者がいる。 「『すべて』と『存在する』の推論」p.199 より F であるものが存在する。 F であるものはすべて G である。 だから G であるものが存在する。 「F であるものが存在する」：存在文 「すべてのものが G である」：全称文 じゅつご【述語】 (1…

もう4月なの非自明すぎる。誰だよ春を告げたの。…ということで、入学の季節ですね。私はもう、大学の数学科を卒業してまあまあ時が経っているのですが、大学で学んだことは大切にしていきたいと思っております。 さて、今日は$\varepsilon$-$\delta$論法（イプシロン-デルタ論法）について書こうと思います。 $\varepsilon$-$\delta$論法は関数の連続性や収束を厳密に記述するときに登場し、多くの学生が躓くと言われています。かく言う私もちゃんと理解するのにかなり時間がかかった記憶があります。今日は私が$\varepsilon$-$\delta$論法を初めて学んだときの疑問や感…

講義日程とブログへの記事を補足する講義用のメモです。記事へのリンクが交錯してしまっていますが、それを整理するためのメモでもあります。 「不思議現象」というのは石川幹人先生から引き継いだお題ですが、超常現象とか、超心理現象とかいう意味合いです。まず最初に、わかりやすい「超能力」の例として「スプーン曲げ」をとりあげます。 ブログ内記事では「スプーン曲げ騒動」を見てください。 「スプーン曲げ」は「念力」なのかトリックなのか？というセンセーショナルな議論がありました。念力など科学的にありえないかというと、そうは言えません。科学は論理的・実証的な手続きですから、念力でスプーンが曲がったとしても、そういう…

『純粋理性批判』（じゅんすいりせいひはん、独: Kritik der reinen Vernunft) は、ドイツの哲学者イマヌエル・カントの主著である。1781年に第一版が、1787年には大幅に手を加えられた第二版が出版された（一般に前者をA版、後者をB版と称する）。カントの三大批判の一つで、1788年刊の『実践理性批判』（第二批判）、1790年刊の『判断力批判』（第三批判）に対して、第一批判とも呼ばれる。人間理性の抱える諸問題についての古典的名著であり、ライプニッツなどの存在論的形而上学と、ヒュームの認識論的懐疑論の両方を継承し、かつ批判的に乗り越えた、西洋哲学史上最も重要な書物のひとつで…

とする． 問 (1) 7の平方根はであることは正しいか？ (解答) と置く．このとき平方根の定義から，次のような計算をする： i.e. i.e. であるから公理よりは常に正しい．▢ ☆補足 この論証に仮定は無いので全称判断としても正しい，と言えるからは「常に」正しい． 問 (2) 次の式を計算せよ． (解答) と置く．このとき であり，公理から は常に成り立つ．▢ 問 (3) に対して，次の式の値を求めよ． (ア) (イ) (解答) (ア)について と置く．このとき であるから を得る．そして，公理よりこれは常に成り立つ． (イ)について と置く．このとき(ア)の計算から である．そして，公理…

全称限量子が関数と思えないのはなぜか？ 「限量子が関数なわけない」という思い込みもあるだろうが、独特な呼び名と書き方が大きな原因だろう。呼び名・書き方は習慣・伝統だから変えられない。が、個人・集団内で、一時的に変えるのは自由だ。フルスペルではないが、長めの略称を使う。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}`$ 日本語 英語 略称 連続写像 continuous map ContMap 連続的微分可能写像 continuously differentiable map ContDiffMap 微分作用素 differential operator DiffOp 全…

問 36人の組で，弟と妹の有無ついて調べた．弟がいる人は16人，妹がいる人は10人，弟も妹もいない人は13人だった．弟も妹もいる人は何人ですか？ (解答) i.e. 仮定 i.e. 仮定 i.e. 仮定 i.e. 仮定 とする．このとき を求めたい． ① 山積 より ⇒-導入 ⇒-導入 ② より 山積 であるから ⇒-導入 ⇒-導入 この論証に仮定はないので，∀-導入適用可能である．したがって，弟と妹がいる人は3人である．▢ ☆補足 に∀-導入を適用する，とはどういう意味だろうか？ 全称判断は単独判断も含むので，を強いて限量記号で表示すれば と書ける．この表示を省略したものが である．

久々に論理の話をします。論理とはいっても、形式化された論理〈formal logic〉の話ではなくて、“ちゃんと考えるための技法”といった意味の論理です。「命題と判断は区別しましょう」が僕がこの記事で言いたいことです。$`\newcommand{\Holds}{ \mathrel{|\!-!} } \newcommand{\Ques}{ \mathrel{|\!-?} } \newcommand{\HHolds}{ \mathrel{||\!-!} } \newcommand{\HHHolds}{ \mathrel{|||\!-!} } \newcommand{\NotHold}{ \math…

問 あめが10個あります．何個か貰ったので30個になりました．あめを何個貰いましたか？ (解答と説明) とする．このとき，文論理は原始的で で表される．いま可能世界について真理値を考えると P Q R T T T ①T T F ②T F T ③T F F ④F T T ⑤F T F ⑥F F T ⑦F F F ⑧ であるから，②が棄却されるので，それ以外が可能であることがわかる．つまり，文論理的に▢は何個でもよい，という判断である．改めて，▢を求めるとはどういうことだろうか？ いま，単独判断は全称判断に含まれると考えると，▢を全称判断で考えることができる．では，全称判断と特称判断の違いは何だろ…

Mathematics in Leanの第4章「集合と関数」の中の２つ目のセクションである「関数」を読みながら練習問題を解いています。その問題の中で集合族の積集合の写像と集合族の写像の積集合に関する問題がありました。全称量化子と存在量化子が絡み、なかなか手強かったので、紹介したいと思います。 練習問題とその証明は下記のとおりです。 example (i : I) (injf : Injective f) : (⋂ i, f '' A i) ⊆ f '' ⋂ i, A i := by01 intro y h102 simp at h103 simp04 have : (∃ x, (∀ (j : …

一升瓶に液体が入っています。何も調べずに、その液体が日本酒だと結論することは危険で、誤っているかもしれません。日本酒だと信じるのは勝手ですが、似たような液体はたくさんあります。「それは液体である」は観察事実ですが、「それは日本酒である」は観察事実ではありません。日本酒のように見えても、日本酒だと結論はできません。中身を調べ、その結果に基づいて、それが日本酒だと結論できるのです。では、「それはサクラだ」という文は観察事実でしょうか。観察事実だというのが並の答えですが、どうしてでしょうか。 「すべての牛は4足である」も観察事実ではありません。というのも、「すべての牛」を観察できる人はいないからです…