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相対性理論

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サイエンス

相対性理論

そうたいせいりろん

アルバート・アインシュタインにより発見された物理理論、特殊相対性理論一般相対性理論の総称。

特殊相対性理論

ニュートン力学電磁気学を統合した物理理論。主に高速度・高エネルギーで動く物質における物理を記述する。

歴史

19世紀までは、ニュートン力学の正当性は疑われなかった。そこに登場したのが、マクスウェル方程式で記述される電磁気学である。マクスウェル方程式は、真空中で一定の速度(光速度c)で伝播する、電磁波を解としてもつ。問題は、どの系から見て速度cであるか、であった。当時の物理学者は、他の波動と同じく、電磁波にも媒質が必要だと考え、宇宙のすみずみまで行きわたっている媒質「エーテル」の存在を仮定し、電磁波エーテルに対して、速度cで伝播すると考えた。

地球エーテルの中を移動していると考えられるため、エーテルが実在するとすれば、地球エーテルに対して運動していると考えられるので、地球上での光速度はその方向などにより変動するはずである。これを観測しようとしたのが、例えばマイケルソン・モーレーの実験である。

しかし、いかなる実験においても、光速度の変化は観測されなかった。この、エーテル理論と実験との不一致を説明するために、ローレンツ*1は、旧来のガリレイ変換*2ではなく、ローレンツ変換を使用する理論を提唱した。だが、ローレンツローレンツ変換をあくまで便宜的なものと考え、その物理的意味を見出すまでには至らなかった。

アインシュタインは、1905年の論文で、ローレンツ変換が本質的な変換であると主張したと言える。これにより結局、エーテルの存在は不必要となった。

仮定とローレンツ変換

アインシュタインは以下の仮定を元に、特殊相対性理論を構築した。

  1. 相対性原理:いかなる慣性系*3においても、全く同じ物理法則が成り立つ。
  2. 光速不変の原理:光速度cは、いかなる慣性系から見ても等しい。
  3. 慣性系の間の変換は、移動する速度が小さい場合、ガリレイ変換に近似的に一致する。

特殊相対性理論は、これらのみから理論全体が構成される。

これらから、ローレンツ変換を導くことが出来る。結果のみ示すと、

¥left(¥begin{matrix}x’^0¥¥x’^1¥¥x’^2¥¥x’^3¥end{matrix}¥right)=¥left(¥begin{matrix}¥gamma &-¥beta¥gamma&0&0¥¥-¥beta¥gamma&¥gamma&0&0¥¥0&0&1&0¥¥0&0&0&1¥end{matrix}¥right)¥left(¥begin{matrix}x^0¥¥x^1¥¥x^2¥¥x^3¥end{matrix}¥right)

ただし、¥gamma=¥sqrt{1-¥beta^2}¥beta=v/c。また、系 x’ は基準となる系 x に対し、x^1方向に速度 v で移動しているものとする。ここで、x^0=ct 等は時間、x^1=x,x^2=y,x^3=z は空間座標を表す。相対性理論では一般的に使用される記法である。

特殊相対性理論の世界観

エネルギーと質量

特殊相対性理論によれば、エネルギーEと質量mは同等なものであり、式E=¥gamma mc^2で結ばれる。

光速度

E=¥gamma mc^2で、v¥rightarrow cとすると、エネルギーは発散する。これは、いかなる(質量を持つ)物質も光速度に達するには、無限大のエネルギーが必要であることを意味している。

時空

ローレンツ変換は旧来のガリレイ変換と違い、変換時に時間と空間が混ざる性質を持つ。これは、時間と空間とが本質的には同じものであることを示唆しており、合わせて4次元の時空、特に数学的にはミンコフスキー時空、あるいはミンコフスキー空間と呼ぶ。

ミンコフスキー時空の一点Aを通る光の軌跡は、4次元時空内の円錐2つを点Aでくっつけたような形になる。これを光円錐と呼ぶ。光円錐の内側(つまり、時間軸の方向)を時間的、外側(つまり、空間軸の方向)を空間的と呼ぶ。

同時刻の相対性

点Aに対し時間的な時空では、未来、現在、過去を定義することは簡単である。時間軸正方向の時間的時空が未来 (「時間的未来」)、点Aが現在、時間軸負方向の時間的時空が過去 (「時間的過去」)、とすれば良い。

一方、空間的な時空では話は簡単ではない。同じ点Aであっても、ローレンツ変換を施すことにより、空間的な時空では、点Aと同時刻である時空上の面が変わってくる。すなわち、どの慣性系から見るかによって、「点Aと同時刻」の定義も、未来、過去の定義も変わってくる。これを同時刻の相対性と呼ぶ。

一般相対性理論

一般相対性理論は、ニュートンの理論にかわる、重力の理論である。主に、宇宙的なスケールの現象における物理を記述する。

一般相対性理論によれば、時空はそれ自身が歪み、変形する。まさに、この時空の歪み自身が重力なのである。これを記述するために使われた数学が、リーマン幾何学である。

仮定

一般相対性理論は以下の仮定の元に構築されている。

  1. 一般相対性原理:いかなる座標系においても、全く同じ物理法則が成り立つ。
  2. 等価原理:重力が働いている系においても、座標変換をすることにより、(局所的に)慣性系にすることができる。これにより生まれた慣性系を「局所慣性系」と呼ぶ。この原理は、「重力質量と慣性質量は等しい」と言い替えることも出来る。
  3. 重力が弱い極限で、特殊相対性理論と一致する。

一般相対性理論はこれらの仮定からのみ導出される。

アインシュタイン方程式運動方程式

一般相対性理論において、重力場を記述する方程式アインシュタイン方程式であり、以下の形に書かれる。

G_{¥mu¥nu}=¥frac{8¥pi G}{c^4}T_{¥mu¥nu}

G万有引力定数、T_{¥mu¥nu} はエネルギー運動量テンソルG_{¥mu¥nu}=R_{¥mu¥nu}-Rg_{¥mu¥nu}/2アインシュタインテンソルである。ここで、R_{¥mu¥nu}リーマンの曲率テンソルRスカラー曲率、g_{¥mu¥nu} は計量テンソルである。*4

重力場の中の、粒子の運動方程式は以下の形に書かれる。

¥frac{Du^¥mu}{d¥tau}=0

u^¥mu=Dx^¥mu/d¥tau は4元速度、¥tau は固有時間、Du^¥mu/d¥tau=du^¥mu/d¥tau+¥Gamma_{¥rho¥nu}^¥mu u^¥rho u^¥nu は共変微分である。ここで、¥Gamma_{¥rho¥nu}^¥mu はアフィン接続係数である。

一般相対性理論の結果

もっとも有名なのはブラックホールである。アインシュタイン方程式の一つの解として、あまりに強い重力のために、何者も、光すらも逃げ出すことの出来ない天体ブラックホールが得られることを最初に示したのは、シュバルツシルトである。完全に球対称な場合を仮定すると、質量 M の星が半径 2GM/c^2 以下になると、その星はブラックホールとなる。

反対に、何者も中に入ることの出来ない天体、「ホワイトホール?」。時空の遠く離れた部分を結ぶ「ワームホール」など、様々な解が発見されている。

一つの重要な結果は、重力波である。アインシュタイン方程式を近似することで、ちょうど重力ポテンシャルに対応する計量テンソルのずれ*5が、波動方程式h_{¥mu¥nu}=-16¥pi GT_{¥mu¥nu}/c^4 を満たすことが分かる。*6 すなわち、重力は電磁波などと同じく「重力波」という形をとって、非常に微弱ではあるが、空間を伝わって来るのである。例えば、2つの星が互いの周りを回る連星系から、重力波が出ると考えられる。しかし、あまりに微弱であることから、重力波はいまだ観測されていない。

*リスト:リスト::物理関連

*1:厳密にはローレンツが最初ではないらしいが

*2:簡単に言えば、我々が直感的に考える物の動き。つまり、位置¥vec{x}にある物体Aを、速度¥vec{V}で動く系から見ると、Aは位置¥vec{x}'=¥vec{x}+¥vec{V}tで動いているように見える。ここでtは時刻である

*3加速度運動をしていない系

*4:宇宙項は右辺に含めることが多くなっているため、省略した

*5:ミンコフスキー計量からのずれを意味している

*6:ただし、調和ゲージ、およびTTゲージをとった

目次

音楽

相対性理論

そうたいせいりろん

2006年結成のバンド。

mF247にてフリーダウンロード可能な「LOVEずっきゅん」がインターネット上で話題となる。バンド編成は流動的で、やくしまるえつこと永井聖一は固定メンバーである。

メンバー

  • 現在のメンバー
  • 元メンバー
    • 真部脩一 (Ba.Cho)
    • 西浦謙助 (Dr)

ディスコグラフィー

TOWN AGE

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