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大数の法則

サイエンス

大数の法則

たいすうのほうそく

統計的確率(試行を繰り返して求めた確率)は、真の確率に近づくということ。

確率変数をX、Xの真の期待値をmとする。試行回数nが大きくなると

弱法則と比べて、強法則は「確率」という言葉を使っていない点に注意されたい。強法則は、和をとっているだけである。

なお読み方は「たいすうのほうそく」であり、ある人が「だいすうのほうそく」と読んだ場合は例えば「大学への数学(略して大数)」の読者であった可能性がある。

統計学関連、中心極限定理

大数の弱法則

  1. 確率変数 X_1, X_2, ¥dots, X_n は全て独立。
  2. X_1, X_2, ¥dots, X_n の平均は全て ¥mu に等しい。
  3. X_1, X_2, ¥dots, X_n の分散は全て ¥sigma 以下である。

この時、以下が成立する。

¥forall ¥epsilon > 0, ¥lim_{n ¥right ¥infty} P(|¥frac{X_1 + X_2 + ¥dots + X_n}{n} - ¥mu| < ¥epsilon) = 1

大数の強法則

  1. 確率変数 X_1, X_2, ¥dots, X_n は全て独立。
  2. X_1, X_2, ¥dots, X_n は全て同一分布に従う。
  3. X_1, X_2, ¥dots, X_n の平均は全て ¥mu に等しい。

この時、以下が成立する。

P(¥lim_{n ¥right ¥infty} ¥frac{X_1 + X_2 + ¥dots + X_n}{n} = ¥mu) = 1

強法則では同一確率分布を前提としているが、弱法則は同一である必要はなく、分散が有界であることのみが必要である。