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特異値分解

一般

特異値分解

とくいちぶんかい

SVD (singular value decomposition)

線形代数の行列分解の一手法。統計学信号処理で活用されている。

特異値分解定理

特異値分解定理によれば、m行n列の行列

  U Σ V*

の形に分解する事ができる。

   : 行列Mの入力の基底となる正規直交ベクトル (m次ユニタリ行列)
   : 行列Mの出力の基底となる正規直交ベクトル (n次ユニタリ行列)
  * : Vの随伴行列(複素共役かつ転置行列)
  Σ : 行列Mの特異値を対角成分にもつm行n列行列。
     特異値とは、入力から出力を得るための係数。

要するに特異値分解とは、入力と出力の線形関係を、正規直交化して 特異値 Σii を求める処理と言える。

特異値分解による次元削減

行列が既約ではない(行または列に従属関係がある)場合、あるいは特異値が極めて0に近い場合、行列Σの次数を下げる事ができ、大きな行列の次数削減に利用される。
また、行列の次数が極めて大きく計算機のメモリーにも収まらない場合には、
逐次計算可能なアルゴリズムや、ニューラルネットを使ったアルゴリズムが試みられている。