特殊線形群

サイエンス

特殊線形群

とくしゅせんけいぐん

体k上のn次特殊線形群はSL(n,k)と書き、行列式が1を満たすn次正方行列?全体である。特に、行列式が1であれば、逆元?があるので、SL(n,k)はGL(n,k)の部分集合である。

SL(n,k)は行列の積に関して群になる。まず、Eを一般線形群の時と同じく対角成分が全て1で他は全て0であるn次正方行列とする。明らかにdet(E)=1であるので、EはSL(n,k)の元となりSL(n,k)は単位元を含む。次に、A, BをSL(n,k)から取り、再び積ABがSL(n,k)の元であるか確認する。定義によりdet(A)=det(B)=1である。ここで、行列式の性質によりdet(AB)=det(A)det(B)=1であるので、ABの行列式は再び1になりABがSL(n,k)の元となる。よって、ABはSL(n,k)の元である。次に、一般線形群の項においてAの逆行列A^{-1}はGL(n,k)であるが、ここでdet(A)det(A^{-1})=det(A A^{-1})=det(E)=1であるので、det(A^{-1})=1/det(A)=1である。よって、Aの逆元もSL(n,k)の元である。以上より、SL(n,k)は群となる。


SL(n,k)は非常に重要な群である。例えば、SL(n,k)の異なる2つの元が片方の定数倍である場合にその2つの元を同一視すると射影特殊線形群とよばれるPSL(n,k) を得る。更に、nが2以上でkが位数が2や3の有限体でなければ、PSL(n,k)は単純群となる。また、SL(n,k)はリー群で、対応して特殊線形リー環と呼ばれるリー環論で最も重要なsl(n,k)を得る。

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