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表現論

サイエンス

表現論

ひょうげんろん

群から行列空間への準同型写像は群の線形表現とよばれる。一旦線形表現を与えると、群そのものが多少情報を落とす場合もあるが置換群線形群のような具体的な群として実現され元の群の性質が見やすくなる場合が多い。そこでその元の群に対応する線形表現の研究を表現論とよぶ。

線形表現そのものより情報が落ちるが、群のそれぞれの要素に対応する行列のトレースの値を共役類毎にならべた表を指標表とよび、散在型単純群の決定に大きな役割を演じた。またリー群に対する局所線形表現であるリー環の研究も活発だ。

有限群論に限らず他の分野との共同研究が活発で、例えば組み合せ論とは一般線形群GL_{n}(C)の表現のテンソル積?の直交和?への分解を指定するLittlewood-Richardson rule?の研究、対称群の表現とヤング図形の研究、また一般に表現環?と呼ばれる指標表から決まる環の研究などがあり、特に群あるいは指標環の拡張を扱う代数組み合せ論の研究においては日本人数学者の活躍が大きい。他に、指標表は群のフーリエ解析とも見れるので、表現論調和解析の関係も密接だ。


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