面積速度一定の法則

サイエンス

面積速度一定の法則

めんせきそくどいっていのほうそく

[英] law of constant areal velocity

面積速度一定の法則とは、ケプラーの第二法則の別名で、惑星と太陽とを結んだ線が一定時間に横切る面積は一定となることを述べている。

このことは、惑星は太陽から遠いときはゆっくり動き、太陽に近いときは速く動くということであり、この法則により、惑星の軌道上のある位置での速さが正確に計算できるようになった。

また、離心率の大きな極端な楕円軌道をもつ彗星でも、ケプラーの法則は成り立っていて、その軌道上の動き(太陽から遠いときは非常にゆっくり動き、太陽に近づくととても速く動く)ということも説明できる。

証明

惑星に何も力が働かないと、その惑星は等速直線運動を続ける。だからあるときにP1の位置にいた惑星はP1→P2→P3と等速直線運動をする。ここで太陽Sからの引力を考える。

惑星がP2の位置に太陽の引力(F)が働いたため、惑星の軌道が曲げられて、何も力が働かなかったらP3の位置に来たはずの惑星が、P3'の位置にきたと考える。

このときにできる三角形の面積を考える。まず△SP1P2と△SP2P3、頂点Sを共有し、P1P2=P2P3(∵等速直線運動)なので、底辺の長さが等しく、高さも同じ三角形。つまり△SP1P2=SP2P3。

次に△SP2P3と△SP2P3'を比べる。二つの三角形は底辺SP2を共有している。またSP2とP3'P3は平行(∵P3P3'はP2で太陽Sに向かう力によって生じた加速度Fに平行)なので高さも等しい。つまり、この二つの三角形の面積は等しい。つまり△SP2P3=△SP2P3'。

ゆえに△SP1P2=△SP2P3=△SP2P3'だから、△SP1P2=△SP2P3'となる。これは太陽のまわりのどの位置でも成立するので、面積速度一定の法則が成り立つ。