有界閉集合

えー、「第一象限みたいな一部だけ閉じてる平面とかを表す言葉はあるのかな」という質問で瞬間的に思い付いた答えは角付き多様体なんですけど、それで合っているのか自信無いですね。そのものをぴったり表す言葉は知らないので、何かは捨象しながら回答するということになります。順を追って説明しましょう。両端の閉じた線分は、とても良い性質を持ちます。「閉区間]上の関数が……」という感じの文章が大学1年生の微積分の講義で頻繁に出て来ますが、それは閉区間が良い性質を持っているからです。良い性質を持っているので研究対象になりやすくて、これの一般化はたくさんあります。私がよく見掛けるもので、 単体。例えば、1次元なら両端…

有界閉集合では連続関数に最大・最小が存在という良い性質があります。一方、有界であっても開集合の場合にはそのような性質はありませんし、有界でない閉集合にもそのような性質はありません。 ある有界閉集合$S\subset\mathbb{C}$で連続関数列$f_n$が各点収束で$\lim_{n\to\infty}f_n=f$とします。$S$での$f_n-f$の最大値・最小値を$Max_n, Min_n$とすると$n\to\infty$の時に$max(|Max_n|, |Min_n|)\to 0$であればこの有界閉集合上で$f_n$は$f$に一様収束しています。一様収束であればさまざまな良い性質が証明で…

この記事では複素関数論の応用として代数学の基本定理を証明します。この辺の話は勉強していて興味深い話だったのですが、今回の予定のストーリーからは横道に逸れる感じだったので、補足として今回記事にすることにしました。 リュービルの定理は以前に楕円関数の性質の証明で使ったこともあり、その証明がきっちりと数式で示せる事を知り楽しかったです。 代数学の基本定理：定数を除く複素数係数の1変数代数方程式は複素根を持つ。 この証明に使う次の定理も証明します。 リュービルの定理：有界な整関数は定数関数に限る。 この証明に使うコーシーの不等式も証明します。 コーシーの不等式：$D$を中心$z$、半径$R$の開円板、…

ガンマ関数やゼータ関数の解析接続や解析的な性質を述べるために必要な複素関数論の定理を述べます。 正則な関数列の定理：関数列$\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が開集合$U$上で正則で、$U$の任意の有界閉集合で関数$f$に一様収束する（このとき広義一様収束という）とき、$f$は$U$上で正則である。 一様連続の定理：有界閉集合で連続な関数は一様連続である。 正則な積分関数の定理：$U\subset\mathbb{C}$を開集合として$F(z,s)$を$(z,s)\in U \times [a,b]\subset\mathbb{R}$で定義された関数で次の２つの条件を満たすものと…