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今年〈2023年〉の夏くらいから、絵図的手法のフレームワークとして、スケマティック系というものを考え始めました。スケマティック系に関連する記事は「スケマティック系のハブ記事」からたどれます。スケマティック系の素材として、半グラフやバエズ／ドーラン・ツリーなどを調べてみたのですが、これらの構造の背後に、比較的単純な代数系があるようです。絵図（ストリング図／ワイヤリング図）の切り貼りを支配している代数系です。この代数系（“貼り合わせ代数”と呼びます）について述べます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{…

ローヴェア〈William Lawvere〉は、彼の学位論文で「セオリー」という概念を導入しました。現在、ローヴェアのセオリーに対する色々な呼び名がありますが（「用語のバリエーション記述のための正規表現 // ウンザリする例」参照）、ここではローヴェア・セオリー〈Lawvere theory〉と呼ぶことにします。ローヴェアは、ローヴェア・セオリーを対象物とした議論をおこなったので、ローヴェア・セオリーのセオリー〈理論〉を展開したことになります。概念的事物に「セオリー」というネーミングをしたことで、それについて語るのがややこしくなってしまいました。ローヴェア・セオリー以前にセオリーと呼ばれていた…

「コレクション、対称性、シーケンス、色付け」において、構造（例えば全順序構造）が載った有限集合を「コレクション」と呼びました。データ構造としてのコレクションはそういったものなのでまー妥当だろう、と。しかし、コレクション〈collection〉は他の意味で使われることが多いようです。なので、「コレクション」はやめて「クラスター」に改めます。クラスターの圏の定義と事例についてこの記事で述べます。最後の節で、今回の定義が以前の定義を包摂することを示します。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} %\…

「スケマティック系のために： 雑多な予備知識 // Diag構成」でDiag構成について述べました。Diag構成を特殊化すると既存の色々な構成法になるので、Diag構成は、様々な構成法を包括的に扱うフレームワークとなります。また、「一般化されたファミリーの圏」で、 集合圏とは限らない $`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}\cat{C},\cat{D}`$ に対して $`{\bf Fam}(\cat{C},\cat{D})`$ が使えると、だいぶ便利になります。とはいえ、$`\cat{C}`$ は集合圏の部分圏に限っているので、この条件も外したいところです。そ…

「半グラフからシステムの記述へ」においてスケマティック圏という概念を述べました。しかし、ハッキリした定義を提示したわけではなくて、曖昧に導入しています。 スケマティック圏〈schematic category〉は、特定の圏の固有名ではなくて、圏の種類です。公理的・抽象的に定義したいのですが、現状ではハッキリした完全な公理系は不明です。まだ不明瞭な概念ではありますが、スケマティック圏達の圏が存在することを仮定してそれを $`{\bf SchemCAT}`$ とします。 この記事で、スケマティック圏の定義をハッキリさせます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \…

次の2つの過去記事で半グラフ／型付き半グラフについて述べました。 テンソルの可視化のための半グラフ 型付き半グラフと指標 半グラフ／型付き半グラフの使いみちとして、システムの記述があります。システムは階層的に構成されることがあります。階層的なシステムを記述するには、半グラフも階層化する必要があります。つまり、入れ子の半グラフ〈nested semi-graph〉を導入することになります。入れ子の半グラフとその応用をうまく定式化するには、けっこう大規模な構造をセットアップする必要があるみたいです。それを一気に述べるのは無理なので、幾つかのサブトピックとだいたいの方針だけをこの記事に記します。$`…

「だいたい圏になる： 概圏」において次のように書きました。 $`\mathcal{C}`$ から $`\mathcal{D}`$ を作る行為は、ダイアレクト構成〈dialect construction〉と呼ばれる構成法の一部です。 「ダイアレクト構成」に言及したものの、「それって何だっけ？」という気分だったので、ちょっと調べてみました。比較的最近（2020年）のロマン〈Mario Román〉のノートから始めて、過去の論文を辿ってみました。ザッと眺めたところ、状況は思ったよりゴチャゴチャしてました。自分なりに整理してまとめておきます。出てくる概念（圏の種別）は次のようなものです。 フィードバ…

圏論の「普遍性」という言葉は、曖昧多義で何を言っているか分からなくなるリスクがあるので、個人的には使わないようにしています。「普遍性」「普遍対象」などの代わりに、（とある圏）の終対象または始対象である旨を明示することが多いです。とはいえ、「普遍性」は圏論の中核的な概念だと認識している人も多いわけで、「使うな」は無茶です。どんなところが曖昧多義なのか、どう使えば意味がハッキリ伝わるのかを考えてみます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\twoto}{\Rightar…

「米田埋め込みの書き方（色々ありすぎ）」において、米田埋め込みの記法がたくさんあることを紹介しました。別名／別記法の氾濫は、鬱陶しくて面倒な事ですが、メリットもあります。それは、用途・場面に応じて適切な呼び名と記法が選べることです。今言った「適切さ」は、メンタル／エモーショナル、あるいは認知的な「適切さ」です。だって、別名／別記法の指す対象物〈denotation〉は同一なので、「何を指すか」に違いは無いのですから。もうひとつ、記法には機能性・効率性があります。例えば、「視認性の良し悪し」「誤解されるリスクの大小」「短さ・簡潔さ」などの評価基準があります。$`\newcommand{\cat}…