被積分関数@20061221221244

積分される関数のこと.不定積分 [tex:\int f(x)\,dx] であれば,[tex:f(x)] が被積分関数である.
原始関数を求める際,被積分関数の形のわずかな変化で方針が大きく異なることがある.
*例
被積分関数の分母が 2 次式であるような場合を考える.このとき,分母の式が 1 だけ違うだけで,積分の方針が大きく変わることがある.
-<b>分母が [tex:x^2+4x+3] のとき</b>
 分母は簡単な形に因数分解ができる.そこでこれを部分分数に分解して,個々に積分する.
  [tex:\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{x^2+4x+3} &=& \int \frac{dx}{(x+1)(x+3)} \\ &=& \frac12 \int \(\frac1{x+1}-\frac1{x+3}\)\,dx \\ &=& \frac12 \log\|\frac{x+1}{x+3}\|+C \end{eqnarray}]
-<b>分母が [tex:x^2+4x+4] のとき</b>
 分母は [tex:x+2] の平方である.
  [tex:\int \frac{dx}{x^2+4x+4}=\int \frac{dx}{(x+2)^2}=-\frac1{x+2}+C]
-<b>分母が [tex:x^2+4x+5] のとき</b>
 分母が実数の根をもたない.
  [tex:\int \frac{dx}{x^2+4x+5} &=& \int \frac{dx}{(x+2)^2 +1}]
 ここで [tex:x+2=t] とおく.[tex:dt=dx] であり,
  [tex:\begin{eqnarray} \int \frac{dx}{(x+2)^2 +1} &=& \int \frac{dt}{t^2 +1} \\ &=& \tan^{-1}t+C \\ &=& \tan^{-1}(x+2)+C \end{eqnarray}]