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菊やんの雑記帳

2010-01-29 コラッツ予想の証明の解読メモ

[] コラッツ予想の証明が流行ってるので解読中 20:25  コラッツ予想の証明が流行ってるので解読中を含むブックマーク

色々あって解決した

途中で書いたコラッツ計算機

https://spreadsheets.google.com/ccc?key=0AodXTYWJICjQdGZqeEFTNGFQT2tYSXNlQnRDYS1kemc&hl=en

以下メモ

証明(0) 略 Xn = (3Xn+1)/2^mnとする。

この段落は忘れてよい。X_0に関する仮定は最後の最後まで使わないぽいので、以下X_nは任意の奇数m_n3X_n+1を何回2で割れるかと思って読めばいいっぽい。

証明(1) n>0のときX_nは6を法として1または5と合同である

この証明はさっぱり証明になってるのか理解不能なのだが、いいたいことは

任意の奇数xに対して、3x+1奇数になるまで2で割ってyになったとすると、yを6で割ったあまりは1か5である

yは3で割り切れない奇数なので自明。

証明(2) すべてのX_n(10¥cdot 4^{r-1})/3 ¥pmod{4^r}(4^r-1)/3 ¥pmod{2¥cdot 4^r と合同である

これもすべての奇数xに対して成立するけど次で別な風に使わないといけないから後回し

約数関数の定義

このへんよく分からん

m_n ¥equiv 1 ¥pmod{2}のときなんたらかんたら

解読すると、任意の奇数xに対し、km

3x+1 = (2k+1)2^m

で定めると、

m奇数のときは、

 x ¥equiv (5¥cdot 2^m - 1)/3 ¥quad¥pmod{2^{m+1}}

であり、偶数のときは

 x ¥equiv (2^m - 1)/3 ¥quad¥pmod{2^{m+1}}

である。たぶん証明できる。

Proof.

 3x+1 = (2k+1)2^mより

 3x+1 ¥equiv (2k+1)2^m ¥equiv 2^m ¥equiv (4+1)2^m ¥equiv 5¥cdot 2^m ¥qquad¥pmod{2^{m+1}}

よって、

 3x ¥equiv 2^m - 1 ¥equiv 5¥cdot 2^m -1 ¥qquad¥pmod{2^{m+1}}

ここで、

(i)m奇数のとき、 5¥cdot 2^m-1は3で割り切れるので

 x ¥equiv (5¥cdot 2^m - 1)/3 ¥quad¥pmod{2^{m+1}}

(ii)m偶数のとき、 2^m-1は3で割り切れるので

 x ¥equiv (2^m - 1)/3 ¥quad¥pmod{2^{m+1}}

Qed.

j'nを定義

ようするにここまではおk

あああああああああああああああああああああああ、これより上は証明しなくてもいいところだったっぽい。


いいたいことは

 X_n, a_n, a’_n: 自然数数列

に対して、除算して

 X_n = a_n j_n + b_n

 X_n = a’_n j’_n + b’_n

によって、 j_n, j’_n, b_n, b’_nを定めたとする。

 A_n = lcm(a_n, a’_n)

として、除算して

 X_n = A_n j_n + B_n

によって、 j_n, B_nを定める。

 (rb)_n = (B_n-b_n)/a_n

として(割り切れるよ)。

 (ra)_n = ((rb)_n-(ej)_n)/(ej)_{n+1}

とする(割り切れるのかなあ…負になるかも)

 (ej)_n = (ra)_n (ej)_{n+1} + (rb)_n

となるから、

 X_1 =

あーー。さっぱり分からん。次のバージョンを待とう。

catbirdcatbird 2011/02/11 22:45 ある数が奇数なら、3を掛けて1を足す。ある数が偶数なら2で割る。計算結果が奇数なら、また3を掛けて1を足す。偶数なら、また2で割る。その計算を続けて行くと、ありとあらゆる数から始めても、最後は全て4→2→1→4→2→1の繰り返しになるのではないかと、コラッツは予想しました。
計算値が次第に小さくなって行くと、必ず最終的には4→2→1の繰り返しになってしまいます。従って、計算値が、無限に大きくなって行く様な始まりの数があれば、必ずしも4→2→1の繰り返しにはならないことが証明されます。
最初の数が奇数(X)の場合、3を掛けて1を足すと、X(奇数)×3(必ず奇数)+1=Y(必ず偶数)となります。従って、Yは偶数なので、次の計算は必ず割る2となります。よって、幾ら計算値をどんどん大きくしていこうとしても、X(奇数)×3+1=Y(偶数)→Y(偶数)÷2=Z(奇数)、Z(奇数)×3+1=O(偶数)、O(偶数)÷2=P(奇数)と、奇数→偶数の繰り返し以上には、計算値は大きくなっては行かないことが分かります。つまり、(ある奇数×3+1)÷2の計算結果が、必ず奇数であれば、計算値は無限に大きくなって行き、必ずしも最後は4→2→1の繰り返しとはならないことが証明されます。
 では、その様な始まりの奇数Xがあるか否か、エクセルを使って検証してみましょう。列Aに上の行から順番に、1・3・5・7・9・11・・・・と奇数を入力してください。列Bに上から順に「=(A1×3+1)/2」「=(A2×3+1)/2」「=(A3×3+1)/2」・・・・と、左のA列の奇数を3倍して1を足し2で割る数式を入力します。列Cに上から順に「=(B1×3+1)/2」「=(B2×3+1)/2」「=(B3×3+1)/2」・・・・B列のセルの計算値を、更に3倍して1を足し2で割る数式を入力します。同様の式をD列・E列・F列・・・に入力して行き、どんどん3倍して1を足し2で割る計算を行います。
この結果、全ての列の計算値が奇数となるものがあれば、計算値は無限に大きくなって行きます。そこで、各列において奇数が出現する様子を見てみましょう。B列では、上から2回に1度5・11・17・23・29・35・・と奇数が現れます。C列では、4回に1度17・35・53・71・89・107・125・・・と奇数が現れます。D列では8回に1度53・107・161・215・269・323・・・と奇数が現れます。E列では、16回に1度161・323・485・647・809・・・と奇数が現れます。F列では、32回に1度485・971・1457・1943・2429・2915・・・と奇数が現れます。G列では、64回に1度1457・2915・4373・5831・7289・・・・と奇数が現れます。以後同様に、H列では128回に1度、I列では256回に1度、J列では512回に1度奇数が現れます。
ここまでの計算で、奇数が連続するのは、512行目の1,023・1,535・2,303・3,455・5,183・7,775・11,663・17,495・26,243・39,365の1つです。3倍して1を足し2で割る計算をn回行えば、全ての計算値が奇数になるものは、2のn乗分の1に減少していきます。この事実は、簡単に証明出来るでしょう。
従って、計算を行えば行う程、計算値が奇数の連続になるものは1/2・1/4・1/8・1/16・1/32・・どんどん半分に減少していきます。しかし、無限の数の中では、2のn乗分の1は決して0にはなりません。3倍して1を足し2で割る計算をn回する場合、1から数えて2のn乗番目の奇数(又はその倍数番目の奇数)から始めると、n回の計算結果全てが奇数となります。計算値は大きくなる一方で、4→2→1の繰り返しにはなりません。
有限の数の範囲内では、計算値がその範囲を超えるまで計算を行っていけば、奇数が連続しなくなります。しかし、無限の数の中では、常に先に2のn乗番目の奇数があります。それは(1+2×2のn乗)で表現される数値で、尽きることはありません。そのnを∞にした数値から始めれば、無限に計算を繰り返しても4→2→1の繰り返しにはなりません。
少なくとも1組は、永遠に奇数が連続し数値が大きくなっていく組み合わせが存在します。従って、コラッツの予想は残念ながら誤っています。

catuppercatupper 2011/05/11 02:42 それ無限じゃなイカー

しゃれこうべしゃれこうべ 2014/08/10 23:08 http://syarekke.blog70.fc2.com/blog-category-38.html

はじめまして。

無謀と思いつつ、ここ、コラッツ予想の問題を趣味でやっているものです。
1つには「コラッツフラクタル」というものを考えて1つの結果が得られたと思っています。コラッツ予想の問題がフラクタル構造をしていることがわかりました。すでに、知られている事実かもしれません。

最近、新しく、「コラッツゲーム」というものを考えて1つの結果がでました。それがこちらのページでも出てきている式

2^n・(even+1)-1

というものに関係していることがわかりました。ようやく・・・
この式に興味を持ちしらべています。

こちらの証明の元ネタはなんなのでしょうか?
もし、よければ教えていただけないでしょうか?

しゃれこうべしゃれこうべ 2014/08/10 23:08 http://syarekke.blog70.fc2.com/blog-category-38.html

はじめまして。

無謀と思いつつ、ここ、コラッツ予想の問題を趣味でやっているものです。
1つには「コラッツフラクタル」というものを考えて1つの結果が得られたと思っています。コラッツ予想の問題がフラクタル構造をしていることがわかりました。すでに、知られている事実かもしれません。

最近、新しく、「コラッツゲーム」というものを考えて1つの結果がでました。それがこちらのページでも出てきている式

2^n・(even+1)-1

というものに関係していることがわかりました。ようやく・・・
この式に興味を持ちしらべています。

こちらの証明の元ネタはなんなのでしょうか?
もし、よければ教えていただけないでしょうか?