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菊やんの雑記帳

2012-12-01 標準偏差

[数学] ひとりアドベントカレンダー一日目 04:27  [数学] ひとりアドベントカレンダー一日目を含むブックマーク

d次元確率変数 X が平均μ正定値対称分散共分散行列Σ に従うときの話。

直行行列PΣを対角化して、

 ¥Sigma = P^{-1}diag(¥lambda_1, ¥dots, ¥lambda_d)P

になったときに、対角成分の平方根をとったりすると元の行列も平方根っぽいものになって、ようするに

 ¥Sigma^p = P^{-1}diag(¥lambda_1^p, ¥dots, ¥lambda_d^p)P

にすれば当たり前だけど指数法則を満たしたりして、

 Y = ¥Sigma^{-1/2}(X - ¥mu)

とすれば、Yは平均0で分散共分散行列Iの正規分布に従うよ。すなわち1次元の場合の変数変換と同じ。

PRML読んでたら載ってなかったから、これが書きたかっただけ。