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菊やんの雑記帳

2010-01-29 コラッツ予想の証明の解読メモ

[] コラッツ予想の証明が流行ってるので解読中 20:25  コラッツ予想の証明が流行ってるので解読中 - 菊やんの雑記帳 を含むブックマーク

色々あって解決した

途中で書いたコラッツ計算機

https://spreadsheets.google.com/ccc?key=0AodXTYWJICjQdGZqeEFTNGFQT2tYSXNlQnRDYS1kemc&hl=en

以下メモ

証明(0) 略 Xn = (3Xn+1)/2^mnとする。

この段落は忘れてよい。X_0に関する仮定は最後の最後まで使わないぽいので、以下X_nは任意の奇数m_n3X_n+1を何回2で割れるかと思って読めばいいっぽい。

証明(1) n>0のときX_nは6を法として1または5と合同である

この証明はさっぱり証明になってるのか理解不能なのだが、いいたいことは

任意の奇数xに対して、3x+1奇数になるまで2で割ってyになったとすると、yを6で割ったあまりは1か5である

yは3で割り切れない奇数なので自明。

証明(2) すべてのX_n(10¥cdot 4^{r-1})/3 ¥pmod{4^r}(4^r-1)/3 ¥pmod{2¥cdot 4^r と合同である

これもすべての奇数xに対して成立するけど次で別な風に使わないといけないから後回し

約数関数の定義

このへんよく分からん

m_n ¥equiv 1 ¥pmod{2}のときなんたらかんたら

解読すると、任意の奇数xに対し、km

3x+1 = (2k+1)2^m

で定めると、

m奇数のときは、

 x ¥equiv (5¥cdot 2^m - 1)/3 ¥quad¥pmod{2^{m+1}}

であり、偶数のときは

 x ¥equiv (2^m - 1)/3 ¥quad¥pmod{2^{m+1}}

である。たぶん証明できる。

Proof.

 3x+1 = (2k+1)2^mより

 3x+1 ¥equiv (2k+1)2^m ¥equiv 2^m ¥equiv (4+1)2^m ¥equiv 5¥cdot 2^m ¥qquad¥pmod{2^{m+1}}

よって、

 3x ¥equiv 2^m - 1 ¥equiv 5¥cdot 2^m -1 ¥qquad¥pmod{2^{m+1}}

ここで、

(i)m奇数のとき、 5¥cdot 2^m-1は3で割り切れるので

 x ¥equiv (5¥cdot 2^m - 1)/3 ¥quad¥pmod{2^{m+1}}

(ii)m偶数のとき、 2^m-1は3で割り切れるので

 x ¥equiv (2^m - 1)/3 ¥quad¥pmod{2^{m+1}}

Qed.

j'nを定義

ようするにここまではおk

あああああああああああああああああああああああ、これより上は証明しなくてもいいところだったっぽい。


いいたいことは

 X_n, a_n, a’_n: 自然数数列

に対して、除算して

 X_n = a_n j_n + b_n

 X_n = a’_n j’_n + b’_n

によって、 j_n, j’_n, b_n, b’_nを定めたとする。

 A_n = lcm(a_n, a’_n)

として、除算して

 X_n = A_n j_n + B_n

によって、 j_n, B_nを定める。

 (rb)_n = (B_n-b_n)/a_n

として(割り切れるよ)。

 (ra)_n = ((rb)_n-(ej)_n)/(ej)_{n+1}

とする(割り切れるのかなあ…負になるかも)

 (ej)_n = (ra)_n (ej)_{n+1} + (rb)_n

となるから、

 X_1 =

あーー。さっぱり分からん。次のバージョンを待とう。

catbirdcatbird 2011/02/11 22:45 ある数が奇数なら、3を掛けて1を足す。ある数が偶数なら2で割る。計算結果が奇数なら、また3を掛けて1を足す。偶数なら、また2で割る。その計算を続けて行くと、ありとあらゆる数から始めても、最後は全て4→2→1→4→2→1の繰り返しになるのではないかと、コラッツは予想しました。
計算値が次第に小さくなって行くと、必ず最終的には4→2→1の繰り返しになってしまいます。従って、計算値が、無限に大きくなって行く様な始まりの数があれば、必ずしも4→2→1の繰り返しにはならないことが証明されます。
最初の数が奇数(X)の場合、3を掛けて1を足すと、X(奇数)×3(必ず奇数)+1=Y(必ず偶数)となります。従って、Yは偶数なので、次の計算は必ず割る2となります。よって、幾ら計算値をどんどん大きくしていこうとしても、X(奇数)×3+1=Y(偶数)→Y(偶数)÷2=Z(奇数)、Z(奇数)×3+1=O(偶数)、O(偶数)÷2=P(奇数)と、奇数→偶数の繰り返し以上には、計算値は大きくなっては行かないことが分かります。つまり、(ある奇数×3+1)÷2の計算結果が、必ず奇数であれば、計算値は無限に大きくなって行き、必ずしも最後は4→2→1の繰り返しとはならないことが証明されます。
 では、その様な始まりの奇数Xがあるか否か、エクセルを使って検証してみましょう。列Aに上の行から順番に、1・3・5・7・9・11・・・・と奇数を入力してください。列Bに上から順に「=(A1×3+1)/2」「=(A2×3+1)/2」「=(A3×3+1)/2」・・・・と、左のA列の奇数を3倍して1を足し2で割る数式を入力します。列Cに上から順に「=(B1×3+1)/2」「=(B2×3+1)/2」「=(B3×3+1)/2」・・・・B列のセルの計算値を、更に3倍して1を足し2で割る数式を入力します。同様の式をD列・E列・F列・・・に入力して行き、どんどん3倍して1を足し2で割る計算を行います。
この結果、全ての列の計算値が奇数となるものがあれば、計算値は無限に大きくなって行きます。そこで、各列において奇数が出現する様子を見てみましょう。B列では、上から2回に1度5・11・17・23・29・35・・と奇数が現れます。C列では、4回に1度17・35・53・71・89・107・125・・・と奇数が現れます。D列では8回に1度53・107・161・215・269・323・・・と奇数が現れます。E列では、16回に1度161・323・485・647・809・・・と奇数が現れます。F列では、32回に1度485・971・1457・1943・2429・2915・・・と奇数が現れます。G列では、64回に1度1457・2915・4373・5831・7289・・・・と奇数が現れます。以後同様に、H列では128回に1度、I列では256回に1度、J列では512回に1度奇数が現れます。
ここまでの計算で、奇数が連続するのは、512行目の1,023・1,535・2,303・3,455・5,183・7,775・11,663・17,495・26,243・39,365の1つです。3倍して1を足し2で割る計算をn回行えば、全ての計算値が奇数になるものは、2のn乗分の1に減少していきます。この事実は、簡単に証明出来るでしょう。
従って、計算を行えば行う程、計算値が奇数の連続になるものは1/2・1/4・1/8・1/16・1/32・・どんどん半分に減少していきます。しかし、無限の数の中では、2のn乗分の1は決して0にはなりません。3倍して1を足し2で割る計算をn回する場合、1から数えて2のn乗番目の奇数(又はその倍数番目の奇数)から始めると、n回の計算結果全てが奇数となります。計算値は大きくなる一方で、4→2→1の繰り返しにはなりません。
有限の数の範囲内では、計算値がその範囲を超えるまで計算を行っていけば、奇数が連続しなくなります。しかし、無限の数の中では、常に先に2のn乗番目の奇数があります。それは(1+2×2のn乗)で表現される数値で、尽きることはありません。そのnを∞にした数値から始めれば、無限に計算を繰り返しても4→2→1の繰り返しにはなりません。
少なくとも1組は、永遠に奇数が連続し数値が大きくなっていく組み合わせが存在します。従って、コラッツの予想は残念ながら誤っています。

catuppercatupper 2011/05/11 02:42 それ無限じゃなイカー

しゃれこうべしゃれこうべ 2014/08/10 23:08 http://syarekke.blog70.fc2.com/blog-category-38.html

はじめまして。

無謀と思いつつ、ここ、コラッツ予想の問題を趣味でやっているものです。
1つには「コラッツフラクタル」というものを考えて1つの結果が得られたと思っています。コラッツ予想の問題がフラクタル構造をしていることがわかりました。すでに、知られている事実かもしれません。

最近、新しく、「コラッツゲーム」というものを考えて1つの結果がでました。それがこちらのページでも出てきている式

2^n・(even+1)-1

というものに関係していることがわかりました。ようやく・・・
この式に興味を持ちしらべています。

こちらの証明の元ネタはなんなのでしょうか?
もし、よければ教えていただけないでしょうか?

しゃれこうべしゃれこうべ 2014/08/10 23:08 http://syarekke.blog70.fc2.com/blog-category-38.html

はじめまして。

無謀と思いつつ、ここ、コラッツ予想の問題を趣味でやっているものです。
1つには「コラッツフラクタル」というものを考えて1つの結果が得られたと思っています。コラッツ予想の問題がフラクタル構造をしていることがわかりました。すでに、知られている事実かもしれません。

最近、新しく、「コラッツゲーム」というものを考えて1つの結果がでました。それがこちらのページでも出てきている式

2^n・(even+1)-1

というものに関係していることがわかりました。ようやく・・・
この式に興味を持ちしらべています。

こちらの証明の元ネタはなんなのでしょうか?
もし、よければ教えていただけないでしょうか?

2009-09-25 曲面上の関数論

[] ちょっと読んでみた 17:09  ちょっと読んでみた - 菊やんの雑記帳 を含むブックマーク

ちょうど読みたかった内容の入門書で薄くて楽そうだったのが明倫館にあったから読んでみてるのだが、この本はだめだ……

とりあえず層の定義より前の部分(関数論と位相と多様体の定義の復習)はさらっと読めて、層の定義からが知らない内容なんだけども誤植と非論理が多すぎて初学者には全く理解できない

そもそも、¥Sigma_P = ¥bigcup_{U¥in U_P}S(U)みたいな書き方がきにいらない。

これは実際は直和のことをこう書いてるんだと思うんだけどもなぜか和集合の記号を使う。

幾何の人がこういう誤記法をよくつかってるのは知ってるからいいんだけど、Wikipediaとか見比べてみると、

英語版だと http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_bundle このように正しい記号で書いてるのに、日本語版だと

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E5%A0%B4#.E5.AE.9A.E7.BE.A9 のように和集合で書いてある。

それはまあよくある誤用で、知ってることだからなんとか読めるんだけど、そのあとの準層から層を構成してるところで、層がハウスドルフになると証明されているんだが、どう読んでも証明になってない。数時間がんばってみたんだが、どうがんばってもこれは証明できないので困った末ぐぐってみた。

725 :132人目の素数さん[sage]:2008/04/20(日) 12:38:16
最近、曲面上の関数論っていう本にざっと目を通したんだが、いくつか酷い間違いがあった。 
層がハウスドルフ空間であると堂々と述べているのはいかがなものか。
727 :132人目の素数さん[sage]:2008/04/20(日) 14:45:30
>>725 
層の種類による。 
例えば、複素多様体上の正則関数の芽の層はハウスドルフ空間。
728 :132人目の素数さん[sage]:2008/04/20(日) 14:59:18
>727 
それは知ってる。 
ただあの本には一般に層がハウスドルフであると述べられていて、 
それについて間違った証明がかいてある・・・。 
色んな本にハウスドルフにならない例が載ってるんだが(例えばC^∞関数の芽の層)、 
何でこんな間違いをしたんだろうか。

これはひどい

2009-04-05 リーマン・ロッホの定理

[] herumiさんに少し教えてもらったのだが 21:45  herumiさんに少し教えてもらったのだが - 菊やんの雑記帳 を含むブックマーク

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann-Roch_theorem

を少し読んでみた。

These spaces are all finite dimensional. In case g = 0 we can see that the sequence of dimensions starts

1, 2, 3, ...:

this can be read off from the theory of partial fractions.

これは分かる。たぶん。

C∪{∞}の原点がn位の極だったら、∞は極じゃないから原点の周りのローラン展開が

n次までの負冪の項だけになる。そういう関数の全体はn次までの負冪の項で生成されるn+1次元ベクトル空間だ。

In the theory of elliptic functions it is shown that for g = 1 this sequence is

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

and this characterises the case g = 1.

これは分からない。たぶん。

2位の極を持つ関数にペー関数があるのは知ってる。

1位の極を持つ関数がどんなのかは忘れた。あったっけそんなもん。

って、ないから1次元なのか。よく見たらk位*以下*の極を持つ関数を全体を考えるんだった

他の位数はペー関数を微分したやつしかないのかな。そのへんの唯一性はよく分からん。

g=2のときはどうなるんだろう、g=1みたいにCで被覆してやるのかなあ。

六角形のどの辺を同一視すると穴が二つになるんだ…

八角形ならできるな…

幾何は本当に基本的なことから分かってないぞ…

二角形ならボールにできるし、四角形ならトーラスにできるんだから六角形でもう一つ穴ができるはずなのに完全に頭が弱くなってるな…

2008-08-29 他にやることないし

[] Problem 5 02:23  Problem 5 - 菊やんの雑記帳 を含むブックマーク

任意の正整数 a と n について、数列  a, a^a, a^{a^a}, a^{a^{a^a}}, ¥cdots は mod n でいつか定数になることを示せ

証明

あってると思うんだけど、ほんとにこんなんでええんかな…

問題の数列を b(i) と書くことにする

n についての帰納法で示す
n < k のときに成立すると仮定する

k = 1 のときは数列はつねに 0

k > 1 のときは¥phi(k) < k だから、整数 N があって、
 c = b(N) = b(N+1) = b(N+2) = ¥cdots ¥,¥,¥, (¥text{mod}¥,¥, ¥phi(k))
よってオイラーの定理から
 b(N+r+1) = a^{b(N+r)} = a^c ¥,¥,¥, (¥text{mod}¥,¥, k)

2008-08-26 さらに難しくなった。

[] Problem 28' 22:01  Problem 28' - 菊やんの雑記帳 を含むブックマーク

http://twitter.com/kikx/statuses/899168582

条件は

0∧0 = 0
(a∧b)∧c = a∧(b∧c)
(a∧b)+c = (a+c)∧(b+c)

で、結論は

x∧y = min(x, y)
x∧y = max(x, y)
x∧y = x
x∧y = y

のどれかである。

たぶん、証明できた。