堀田量子 y'方向のスピンの測定確率

要約

入門・現代の量子力学(堀田量子)の1章の図1.6において、y'軸方向のスピンが $+1$ 、$-1$ となる確率 をそれぞれ求めてみた。

方法1

堀田量子のp.7 の (1.2)、(1.3)式を使う方法。

(1.2)式と(1.3)式を復習すると、$z$ 軸方向のスピン $+1$ 状態の粒子を、 $z'$ 軸方向のスピン を $+1$ と観測する確率 $P_{+z'}(\theta)$ と $z'$ 軸方向のスピン を $-1$ と観測する確率 $P_{-z'}(\theta)$ は、それぞれ

$$ P_{+z'} (\theta) = \cos^2 \frac{ \theta } {2} \tag{1.2} $$

$$ P_{-z'} (\theta) = \sin^2 \frac{ \theta } {2} \tag{1.3} $$

となるとのこと。

そのため、$y'$軸方向のスピン を $+1$ と観測する確率 $P_{+y'} (\theta) $、 $y'$軸方向のスピンを $-1$ と観測する確率 $P_{-y'} (\theta) $ は、 $P_{\pm z'} (\theta) $の$\theta$を$\theta + \pi/2$と 読み替えれば良いので、

\begin{aligned} P_{+y'} (\theta) & = P_{+z'} \left(\theta + \frac{\pi}{2} \right) \\ & = \cos^2 \left( \frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4} \right) \\ & = \frac{1}{2} \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) + \frac{1}{2} \\ & = \frac{1 - \sin \theta}{2} \end{aligned}

同様に、 \begin{aligned} P_{-y'} (\theta) & = P_{-z'} \left(\theta + \frac{\pi}{2} \right) \\ & = \,\, ... \\ & = \frac{1 + \sin \theta}{2} \end{aligned}

方法2

堀田量子の (2.40) 式を使う。

1章の座標系だと、粒子はx軸方向に進んでいて、z軸は極角 $\theta = \pi/2$・方位角$\phi = 0$であり、y軸は極角 $\theta = \pi/2$・方位角 $\phi = - \pi/2$ と なっている。

2章の座標系だと、粒子はz軸方向に進んでいて、x軸は極角 $\theta = \pi/2$・方位角 $ \phi =0$であり、y軸は極角 $\theta = \pi/2$・方位角 $\phi = \pi/2$ と 考えれば、1章の 座標系と読み替えやすい。

いま、2章の座標系で考えて、z方向に進んでいる粒子が、$y$方向にスピン $+1$ を持っている場合、そのケットベクトル $| u_+ \rangle $ は

$$ | u_+ \rangle = e^{i\delta} \pmatrix{ -i \cos \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} } $$

一方、x軸から 方位角を$-\theta$ 方向(つまり、x軸をy軸の負の向きに$\theta$ずらした方向) にスピン $+1$を持っている粒子の ケットベクトル $ | \psi_+ \rangle $は

$$ | \psi _+ \rangle = e^{i\delta} \pmatrix{ e^{i\theta} \cos \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} } $$

よって、その確率振幅は

\begin{aligned} \langle u_+ | \psi_+ \rangle & = \pmatrix{ i \cos\frac{\pi}{4} && \sin \frac{ \pi }{4} } \pmatrix{ e^{i\theta} \cos \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} } \\ & = \frac{i e^{i \theta} + 1}{2} \end{aligned}

よって、1章の座標系でいうところの、y' 軸方向+1のスピンを見つける確率は $P_{+y'}(\theta)$ は

\begin{aligned} P_{+y'}(\theta) & = | \langle u_+ | \psi_+ \rangle |^2 \\ & = \frac{1}{4} \left\{ (1- \sin\theta)^2 + \cos^2 \theta \right\} \\ & = \frac{1}{2} ( 1 - \sin\theta ) \end{aligned}

$P_{+y'}(\theta) + P_{-y'}(\theta) = 1$ より

$$ P_{-y'}(\theta) = \frac{1}{2} ( 1 + \sin \theta ) $$

y'方向のスピンの期待値

上記より、z方向にスピン $+1$ の粒子 $| \psi_+ \rangle$ の、y'方向のスピンの期待値は

\begin{aligned} \langle σ_{y'} \rangle & = +1 P_{+y'} (\theta) + (-1) P_{-y'} (\theta) \\ & = \frac{1}{2} ( 1 - \sin \theta) - \frac{1}{2} ( 1 + \sin \theta ) \\ & = - \sin \theta \end{aligned}

これは、 $y'$方向の単位ベクトル $\vec{n} = (0, \cos \theta,-\sin \theta)$ と スピン期待値のベクトル $\langle \vec{σ} \rangle = (0,0,1)$の内積

$$ \vec{n} \cdot \langle \vec{σ} \rangle = - \sin \theta $$

と(予想通り)等しくなった。

(堀田量子のp.18の議論を、$\vec{n}=(0, \cos \theta,-\sin \theta)$について確認したということ)

Tikzjaxの導入

前の記事

https://knight-9999.hatenablog.com/entry/2021/01/05/173805

で、markdown + MathJax + xypicを組み込んで、数式と可換図式が描けるようになりましたが、 まだベン図などは描けないので、tikzjaxをさらに組み込んでみます。

(ブログ>設定>詳細設定>headに要素を追加)

<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://tikzjax.com/v1/fonts.css">
<script src="https://tikzjax.com/v1/tikzjax.js"></script>

上手く書けるかな?

コード:

<script type="text/tikz">
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (1in);
\coordinate [label=below right:$\mathcal{C}$](C) at (-1,2);

\coordinate (A) at (0,1) node [left=3] at (A) {$A$};
\coordinate (B) at (0,-1) node [left=10] at (B) {$B$};
\fill (A) circle [radius=2pt];
\fill (B) circle [radius=2pt];
\draw [->, thick] (A) to (B);
\draw (8,0) circle (1in);
\coordinate [label=below right:$\mathcal{D}$](D) at (7,2);


\draw [->, thick] (2,2) to [out=30,in=150] (6,2);
\coordinate [label=above left:$F$]() at (4,3);
\draw [->, thick] (6,-2) to [out=210,in=330] (2,-2);
\coordinate [label=below left:$G$]() at (4,-3);
\end{tikzpicture}
</script>

ちょっと描画されるまで、ちょっと時間かかるけど、、、。

ちなみに、MathJax, xypic, tikzjax も含めたすべての設定は

<script type="text/javascript"
        src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@2/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML">
</script>
<script type="text/javascript">// <![CDATA[
        MathJax.Ajax.config.path["Contrib"] = "//cdn.mathjax.org/mathjax/contrib";
        MathJax.Hub.Config({
        CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
        "HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
        showProcessingMessages: false,
        tex2jax: { displayMath: [['$$','$$']], inlineMath: [['$','$']] },
        TeX: { equationNumbers: { autoNumber: "AMS" }, TagSide: "left", TagIndent: "0em",
        extensions: ["AMSmath.js","AMSsymbols.js","[Contrib]/xyjax/xypic.js"] }});
// ]]></script>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://tikzjax.com/v1/fonts.css">
<script src="https://tikzjax.com/v1/tikzjax.js"></script>

となります。

もっとサンプル

表示される?

コード:

<script type="text/tikz">
\begin{tikzpicture}
\draw [help lines] (0,0) grid (4.5,3.5);
\coordinate (O) at (0,0) node [below] at (O) {O};
\coordinate (A) at (3,0) node [below]at (A) {A};
\coordinate (B) at (1,2) node [above right] at (B) {B};
\end{tikzpicture}
</script>

なんか、%(パーセント)でのコメントが効かないなぁ、、、。

参考サイト:

texwiki.texjp.org

イデアルの拡大 Atiyah-MacDonald 演習問題 1.18 (4)

Atiyah-Macdonald 演習問題 1.18は、10個の式が載っていますが、その一つ、

$$ ({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e \subseteq ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e) $$

を解いてみます。

念のため、記号の定義をふりかえっておくと、次のようになっています。

定義: イデアル

可換環 $A$ のイデアル ${\frak a}, {\frak b}$に対するイデアル商 $ ( {\frak a} : {\frak b} ) $は

$$ ( {\frak a} : {\frak b} ) = \{ x \in A \, : \, x {\frak b} \subseteq {\frak a} \} $$

定義: イデアルの拡大

$f : A \to B$ を環準同型写像とし、 ${\frak a}$ を $A$ のイデアルとすると、${\frak a}$ の拡大 ${\frak a}^e$ とは $B f({\frak a})$ で生成されたイデアル。すなわち、

$$ \sum_{i} y_i f(x_i) \hspace{1em} \hbox{where} \hspace{1em} y_i \in B , \, x_i \in {\frak a} $$

で記述出来る集合全体。


証明:$({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e \subseteq ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e)$

まず $y$ を

$$ y \in ({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e $$

とすると、イデアルの拡大の定義より

$$ y = \sum_{i} y_i f(x_i) \hspace{1em} \hbox{where} \hspace{1em} y_i \in B , \, x_i \in ({\frak a}_1 : {\frak a}_2) $$

とかける。

次に、$z \in {\frak a}_2^e$とすると、$z$は

$$ z = \sum_{j} w_j f(v_j) \hspace{1em} \hbox{where} \hspace{1em} w_j \in B, \, v_j \in {\frak a}_2 $$

とかけるので、

\begin{eqnarray*} yz & = & \sum_{i} y_i f(x_i) z \\ & = & \sum_{i,j} y_i w_j f(x_i) f(v_j) \\ & = & \sum_{i,j} y_i w_j f(x_i v_j) \\ & = & \sum_{k} \tilde{y}_k f( \tilde{x}_k )
\end{eqnarray*}

となる。ここで、3つ目の等号で$f$が環準同型写像であることを使い、最後の等号ではそれぞれ

\begin{eqnarray*} k & = & (i,j) \\ \tilde{y}_k & = & y_i w_j \,\, \in B \\ \tilde{x}_k & = & x_i v_j \end{eqnarray*}

とした。$\tilde{x}_k$ は、 $x_i \in ( {\frak a}_1 \,:\, {\frak a}_2 )$ と $v_j \in {\frak a}_2 $ に注意すれば

$$ \tilde{x}_k = x_i v_j \in {\frak a}_1 $$

となるので、

$$ yz = \sum_{k} \tilde{y}_k f( \tilde{x}_k ) \in {\frak a}_1^e $$

が成り立つ。つまり

$$ y {\frak a}_2^e \subseteq {\frak a}_1^e $$

が成り立つので、イデアル商の定義より、

$$ y \in ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e) $$

が成り立つ。

以上より、$ y \in ({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e$ であれば、$y \in ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e)$ であることが示されたので、

$$ ({\frak a}_1 : {\frak a}_2)^e \subseteq ( {\frak a}_1^e : {\frak a}_2^e) $$

が証明された。

Markdownモード + MathJax + xypicで書いてみる

MathJaxを組み込んで、編集モードもMarkdownにしたので、これで数式が書けるか試してみます。

参考サイト:

はてなブログのヘッダへの設定:

(ブログ>設定>詳細設定>headに要素を追加)

<script type="text/javascript"
        src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@2/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML">
</script>
<script type="text/javascript">// <![CDATA[
        MathJax.Ajax.config.path["Contrib"] = "//cdn.mathjax.org/mathjax/contrib";
        MathJax.Hub.Config({
        CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
        "HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
        showProcessingMessages: false,
        tex2jax: { displayMath: [['$$','$$']], inlineMath: [['$','$']] },
        TeX: { equationNumbers: { autoNumber: "AMS" }, TagSide: "left", TagIndent: "0em",
        extensions: ["AMSmath.js","AMSsymbols.js","[Contrib]/xyjax/xypic.js"] }});
// ]]></script>

なお、編集モードはマークダウンにしておく。

例1: 群準同型


2つの群 $G, G'$ に対して

$$ f: G \to G' $$

が性質

$$ f(xy) = f(x) f(y) \hspace{20pt} (x,y \in G) $$ を満たす時、 $f$ を $G$ から $G'$ への(群)準同型(写像)という。


コード

$$ 
f(xy) = f(x) f(y)  \hspace{20pt} (x,y \in G)
$$

なかなか良い感じ。

例2: イデアルの根基


${\frak a}$ を $A$ の任意のイデアルとするとき、 ${\frak a}$ の根基(radical) $r({\frak a})$ を次のように定義する

$$ r( {\frak a} ) = \{ x \in A \,\, | \,\, x^n \in {\frak a} \, \mbox{ for some } \, n > 0 \, \} $$


コード

$$
r( {\frak a} ) = \\{ x \in A \,\, \| \,\, x\^n \in {\frak a\} \, \mbox{ for some } \, n > 0 \,  \\}
$$

きれいに書けるけど、これ書くのに30分くらいかかってしまった。慣れるまで大変そう

例3:可換図式


$$ \xymatrix{ U \ar@/_/[drd]_y \ar@/^/[drr]^x \ar@{.>}[dr]|-{(x,y)} \\ & X \times_Z Y \ar[d]^q \ar[r]_p & X \ar[d]_f \\ & Y \ar[r]^g & Z } $$


コード:

$$
\xymatrix{
  U \ar@/\_/[drd]\_y  \ar@/^/[drr]\^x \ar@{.>}[dr]|-{(x,y)} \\\\
  & X \times_Z Y \ar[d]\^q \ar[r]\_p & X  \ar[d]\_f \\\\
  & Y \ar[r]\^g & Z
}
$$

マークダウンのせいか、かなりバックスラッシュを使わないといけないので、書くの大変、、、。