超べきとTransitive collapse - kururu

かがみさんとさかいさんにもプレッシャーをかけていただいたので、手短に終わるほうから。

数理論理学でのとても有用なテクニックに超べきというのがあります。とても一般的に定義できるのですが、ここでは集合論でよく使われる具体例で行きます。
集合論ではVで集合全てのクラスを表します。κを何か基数だとして、Uをκ上のnon-principal超フィルターとします。超フィルターというのは、以下の性質を満たすκの部分集合の族Uのことです。

$\emptyset\not\in U$
$A, B\in U$ ならば $A\cap B\in U$
$A\in U$ かつ $A\subseteq B$ ならば $B\in U$
全ての $A\subseteq\kappa$ に対して、 $A\in U$ または $\kappa\setminus A\in U$
全てのα<κに対して $\{\alpha\}\not\in U$

詳しくはかがみさんのところの半順序とフィルターと超フィルターと κ-完備フィルターを参照。イメージとしては、Uはκの「大きい部分集合」を集めたものというところです。
$V^\kappa$ で、κからVへの関数全体を表します。とはいえ、値域は集合全体のクラスなので、要するにκを定義域とする全ての関数ということになりますね。 $V^\kappa$ 上の以下のような同値関係を定義します。 $\{\alpha\lt\kappa : f(\alpha)=g(\alpha)\}\in U$ のとき、 $f\simeq g$ とする。つまり、f(α)=g(α)となるようなαがUに入るくらいに多く存在するときに $f\simeq g$ とするわけです。同値類全体の集合を $V^\kappa/U$ で表します。それぞれの同値類はクラスになってしまいますが、ごまかします。
$V^\kappa/U$ 上に二項関係εを定義します。 $f\varepsilon g$ となるのは、 $\{\alpha\lt\kappa : f(\alpha)\in g(\alpha)\}\in U$ となるときである。すなわち、 $f(\alpha)\in g(\alpha)$ となるようなαがたくさんあるときに $f\varepsilon g$ となるわけです。
$\varepsilon$ を「属する」という関係だとみなしたときに、 $V^\kappa/U$ はZFCを満たすことが証明できます(それどころか、Vで成り立つ全てのパラメータを持たない論理式が成り立つことが証明できます)。ところが、 $V^\kappa/U$ はVから見たときにはεの無限降下列が存在することもあり得ます。*1
ですが、Uが可算完備という条件も満たしていると、 $V^\kappa/U$ はVから見てもwell-foundedになります。

はい、簡単に済むはずがここまでかかりました。 $V^\kappa/U$ はtransitive collapseを適用するために必要な条件を満たしているので、collapseします。そうすると $(V^\kappa/U, \varepsilon)$ と $(M, \in)$ がisomorphicになります。えと、集合にならないんでちょっとは気をつけないといけないんですが、やっぱりごまかします。
そうすると、MはVの部分モデルということになります。もちろん $(V^\kappa/U, \varepsilon)$ というZFCのモデルができること自体もそれなりに面白いし、それを使った証明もあるわけですが*2。ですが、Mという同じmembership relationを使った部分モデルを得ることによって、本当にたくさんの応用が生まれます。

まとめ。

超べきを使うとZFCのモデルができるよ
↓
可算完備だとwell-foundedになるよ
↓
Transitive collapseを使うとそれと同型な普通の $\in$ を使ったモデルができるよ
↓
ウマー(顔文字略)

まあ、本当はVからMへの初等埋め込みが存在するというところまでいかないとあまり役に立たない気がしますが、とりあえずはこんな感じで。

もう一つは、anti-large-cardinal assumption(V=Lとか)を使う話なんですが、これはまた次回に。他にもTodorcevicとかがいろいろうにうに使っているみたいなのですが、知らないのでそこまではやりません。

*1:これも混乱しやすいところだと思いますが、ここでは本筋から外れるのでツッコミません。

*2:Silver's theoremのSilverによる証明とか。もっともこれはもっと初等的に証明できるのでいい例ではありませんが。